题目列表(包括答案和解析)
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数
，其中常数a > 0．
(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在
上是减函数；
(2) 求函数f(x)的最小值．
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数
，x∈R，且f(x)的最大值为1．
(1) 求m的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2) 在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若
，且
，试判断△ABC的形状．
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数
，其中常数a > 0．
(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在
上是减函数；
(2) 求函数f(x)的最小值．
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数
，x∈R，且f(x)的最大值为1．
(1) 求m的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2) 在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若
，且
，试判断△ABC的形状．
（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在四棱锥
中，四边形
为平行四边形，
，
， 
为
上一点，且
平面
．
⑴求证：
；
⑵如果点
为线段
的中点，求证：
∥平面
．
 |
一、填空题（本大题共11题，每小题5分，满分55分）
1．
2．
3．
4．
5．
6．相离 7．
8．
9．
10．
11．
二、选择题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
12．B 13． D 14．D 15．C
三、解答题（本大题满分75分）
16．（1）证明：易知
，又由
平面
，得
，从而
平面
，故
； （4分）
（2）解：延长
交圆
于点
，连接
，
，则
，得
或它的补角为异面直线
与
所成的角.
（6分）
由题意
，解得
. （8分）
又
，
，得
，
，
（10分）
由余弦定理得
，得异面直线 与所成的角为
.
（12分）
17．解：（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为
种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为
，故所求的概率为
； （6分）
（2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有
种不同摸法，
（8分）
一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有
种不同摸法，
（10分）
一种是所摸得的3球均为红球，共有
种不同摸法， （12分）
故符合条件的不同摸法共有
种.
（14分）
18．解：（1） 由已知
，
，相减得
，由
得
，又
，得
，故数列
是一个以为首项，以
为公比的等比数列.
（4分）
从而
；
（6分）
（2）
，
（7分）
又
，故
，
（11分）
于是
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
不存在. （14分）
19．（1）证明：任取
，
，且
，
.
所以
在区间
上为增函数. （5分）
函数在区间
上为减函数.
（6分）
（2）解：因为函数在区间上为增函数，相应的函数值为
，在区间上为减函数，相应的函数值为
，由题意函数的图像与直线
有两个不同的交点，故有
，
（8分）
易知
，
分别位于直线
的两侧，由
，得
，故
，
，又
，
两点的坐标满足方程
，故得
，
，即
，
，（12分）
故
，
当
时，
，
.
因此，
的取值范围为
.
（17分）
20. 解：（1）设
，易知
，
，
，由题设
，
得
其中
，从而
，
，且
，
又由已知
，得
，
当
时，
，此时
，得
，
又
，故
，
，
即
，
，
当
时，点
为原点，
为
轴，
为
轴，点也为原点，从而点
也为原点，因此点的轨迹
的方程为，它表示以原点为顶点，以
为焦点的抛物线；
（4分）
（2）由题设，可设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
，又设
、
，
则由
，消去，整理得
，
故
，同理
，
（7分）
则
，
当且仅当
时等号成立，因此四边形
面积
的最小值为
.
（9分）
（3）当
时可设直线的方程为
，
由
，得
，
故
，
，
（13分）
，
当且仅当
时等号成立. （17分）
当
时，易知
，
，得
，
故当且仅当时四边形面积有最小值
.
（18分）
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