题目列表(包括答案和解析)
的通项公式；
，若
对
恒成立，求实数
的取值范围；
为首项，公比为
的数列
，
，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列
的通项公式；若不存在，说明理由数列
的通项公式
（1）求：f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值；
（2）由上述结果推测出计算f(n)的公式，并用数学归纳法加以证明.
设数列
的通项公式为
。数列
定义如下：对于正整数m，
是使得不等式
成立的所有n中的最小值。 （1）若
，求b3； （2）若
，求数列
的前2m项和公式；（3）是否存在p和q，使得
？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由。
设数列
的通项公式为
。数列
定义如下：对于正整数m，
是使得不等式
成立的所有n中的最小值。
（1）若
，求b3；
（2）若
，求数列
的前2m项和公式；
（3）是否存在p和q，使得
？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由。
设数列
的通项公式为
。数列
定义如下：对于正整数m，
是使得不等式
成立的所有n中的最小值。 （1）若
，求b3； （2）若
，求数列
的前2m项和公式；（3）是否存在p和q，使得
？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由。
一、填空题（本大题共11题，每小题5分，满分55分）
1．
2．
3．
4．
5．
6．相离 7．
8．
9．
10．
11．
二、选择题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
12．B 13． D 14．D 15．C
三、解答题（本大题满分75分）
16．（1）证明：易知
，又由
平面
，得
，从而
平面
，故
； （4分）
（2）解：延长
交圆
于点
，连接
，
，则
，得
或它的补角为异面直线
与
所成的角.
（6分）
由题意
，解得
. （8分）
又
，
，得
，
，
（10分）
由余弦定理得
，得异面直线 与所成的角为
.
（12分）
17．解：（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为
种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为
，故所求的概率为
； （6分）
（2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有
种不同摸法，
（8分）
一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有
种不同摸法，
（10分）
一种是所摸得的3球均为红球，共有
种不同摸法， （12分）
故符合条件的不同摸法共有
种.
（14分）
18．解：（1） 由已知
，
，相减得
，由
得
，又
，得
，故数列
是一个以为首项，以
为公比的等比数列.
（4分）
从而
；
（6分）
（2）
，
（7分）
又
，故
，
（11分）
于是
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
不存在. （14分）
19．（1）证明：任取
，
，且
，
.
所以
在区间
上为增函数. （5分）
函数在区间
上为减函数.
（6分）
（2）解：因为函数在区间上为增函数，相应的函数值为
，在区间上为减函数，相应的函数值为
，由题意函数的图像与直线
有两个不同的交点，故有
，
（8分）
易知
，
分别位于直线
的两侧，由
，得
，故
，
，又
，
两点的坐标满足方程
，故得
，
，即
，
，（12分）
故
，
当
时，
，
.
因此，
的取值范围为
.
（17分）
20. 解：（1）设
，易知
，
，
，由题设
，
得
其中
，从而
，
，且
，
又由已知
，得
，
当
时，
，此时
，得
，
又
，故
，
，
即
，
，
当
时，点
为原点，
为
轴，
为
轴，点也为原点，从而点
也为原点，因此点的轨迹
的方程为，它表示以原点为顶点，以
为焦点的抛物线；
（4分）
（2）由题设，可设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
，又设
、
，
则由
，消去，整理得
，
故
，同理
，
（7分）
则
，
当且仅当
时等号成立，因此四边形
面积
的最小值为
.
（9分）
（3）当
时可设直线的方程为
，
由
，得
，
故
，
，
（13分）
，
当且仅当
时等号成立. （17分）
当
时，易知
，
，得
，
故当且仅当时四边形面积有最小值
.
（18分）
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