题目列表(包括答案和解析)
| 2 | 3 |
的值．
的值．| lim |
| n→∞ |
| An |
| Bn |
杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．下图是一个11阶杨辉三角：
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为
，求n的值；
(3)若n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；
(4)在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1＋3＋6＋10＋15＝35．事实上，一般地有这样的结论：
第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m＋1斜列中第k个数．
试用含有m、k(m，k∈N*)的数学公式表示上述结论，并给予证明．
一、填空题（本大题共11题，每小题5分，满分55分）
1．
2．
3．
4．
5．
6．相离 7．
8．
9．
10．
11．
二、选择题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）
12．B 13． D 14．D 15．C
三、解答题（本大题满分75分）
16．（1）证明：易知
，又由
平面
，得
，从而
平面
，故
； （4分）
（2）解：延长
交圆
于点
，连接
，
，则
，得
或它的补角为异面直线
与
所成的角.
（6分）
由题意
，解得
. （8分）
又
，
，得
，
，
（10分）
由余弦定理得
，得异面直线 与所成的角为
.
（12分）
17．解：（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为
种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为
，故所求的概率为
； （6分）
（2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有
种不同摸法，
（8分）
一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有
种不同摸法，
（10分）
一种是所摸得的3球均为红球，共有
种不同摸法， （12分）
故符合条件的不同摸法共有
种.
（14分）
18．解：（1） 由已知
，
，相减得
，由
得
，又
，得
，故数列
是一个以为首项，以
为公比的等比数列.
（4分）
从而
；
（6分）
（2）
，
（7分）
又
，故
，
（11分）
于是
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
，
当
，即
时，
不存在. （14分）
19．（1）证明：任取
，
，且
，
.
所以
在区间
上为增函数. （5分）
函数在区间
上为减函数.
（6分）
（2）解：因为函数在区间上为增函数，相应的函数值为
，在区间上为减函数，相应的函数值为
，由题意函数的图像与直线
有两个不同的交点，故有
，
（8分）
易知
，
分别位于直线
的两侧，由
，得
，故
，
，又
，
两点的坐标满足方程
，故得
，
，即
，
，（12分）
故
，
当
时，
，
.
因此，
的取值范围为
.
（17分）
20. 解：（1）设
，易知
，
，
，由题设
，
得
其中
，从而
，
，且
，
又由已知
，得
，
当
时，
，此时
，得
，
又
，故
，
，
即
，
，
当
时，点
为原点，
为
轴，
为
轴，点也为原点，从而点
也为原点，因此点的轨迹
的方程为，它表示以原点为顶点，以
为焦点的抛物线；
（4分）
（2）由题设，可设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
，又设
、
，
则由
，消去，整理得
，
故
，同理
，
（7分）
则
，
当且仅当
时等号成立，因此四边形
面积
的最小值为
.
（9分）
（3）当
时可设直线的方程为
，
由
，得
，
故
，
，
（13分）
，
当且仅当
时等号成立. （17分）
当
时，易知
，
，得
，
故当且仅当时四边形面积有最小值
.
（18分）
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