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    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分12分）二次函数的图象经过三点.

    （1）求函数的解析式（2）求函数在区间上的最大值和最小值

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    （本小题满分12分）已知等比数列{an}中， 

       （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；

       （Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，证明:；

       （Ⅲ）设，证明：对任意的正整数n、m，均有

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    （本小题满分12分）已知函数，其中a为常数.

       （Ⅰ）若当恒成立，求a的取值范围；

       （Ⅱ）求的单调区间.

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    （本小题满分12分）

    甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为

       （Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；

       （Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望.

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    （本小题满分12分）已知是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，且，圆O是以为直径的圆，直线与圆O相切，并且与椭圆交于不同的两点A、B.

       （1）求椭圆的标准方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

       （2）当时，求弦长|AB|的取值范围.

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    一、选择题: CCBCD   DCDBB   C A

    二、填空题:   13. 45      14.   30      15.       16.

    三、解答题:17.解: （1） ………1分

           ，化简得     …3分

                 

           （2）)

                   

     令Z），函数f(α)的对称轴方程为Z).……12分

    18.解：（1）油罐没被引爆分两种情形：

           ①5发子弹只有1发击中，其概率为：

        ②5发子弹全没有击中，其概率为

       

        （2）的可能取值为2，3，4，5.

        

           ∴的分布列为：      

    2

    3

    4

    5

    P

        的数学期望为：E=2×+3×+4×+5×=.……………………12分

    19. （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB.……(3分)     又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.……5分

           （2）解：过A作AF∥BC，交CD于F，以A为原点，AF，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

    设PA=AB=BC=a,则A(0,0,0), B(0,a,0)，C(a,a,0), P(0,0,a), E(0,

                  .……………………………………8分

    设n1=(x,y,1)为平面AEC的一个法向量， 则n1⊥，n1⊥,

    ∴解得x=, y=-,∴n1=(,-,1).

    设n2=(x′,y′,1)为平面PBC的一个法向量，同理可得n2=(0,1,1).…………11分

    cos<n1,n2>==∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为.…12分

    20. 解：（1）由an+1=2an+n+1可得an+1+(n+1)+2=2(an+n+2),

           所以数列{an+n+2}是一个公比为2的等比数列，其首项为a1+1+2=-1+1+2=2,

           于是an+n+2=2?2n-1=2n.…………(10分)   故an=2n-n-2.

           {an}的前n项和Sn=……6分

           （2）证明：假设{an}是等比数列，设其首项为a1,

    则a2=2a1+2, a3=2a2+3=4a1+7,………(8分)于是有(2a1+2)2=a1(4a1+7)，解得：a1=-4,于是公比,这时a4=a1q3=(-4)×()3=-.…………………10分

                  但是由题中所给递推公式，a4=2a3+4=8a1+18=-14，二者矛盾，所以{an}不可能是等比数列.……………………12分

    21.解：（1）设椭圆C的方程为半焦距为c，依题意有

    |PF|=|F1F2|=2c

           ∴ 解得，∴b=1. ∴所求椭圆方程为…4分

           （2）由得.

           设点A、B的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2,y2),……………………6分

           .

    ①当m=0时，点A、B关于原点对称，则λ=0.②当m≠0时，点A、B不关于原点对称，则λ≠0.

          

           ∵点Q在椭圆上，∴有……………8分

           化简得4m2(1+2k2)= ∵

    ∵直线与椭圆交于不同的两点，△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2+1-m2)  ∴ (1+2k2-m2)>0,

    1+2k2>m2.(**)…(10分)由（*）（**）可得4m2>.∵m≠0, ∴

           综上，实数的取值范围是(-2,2).………………………………………12分

    22.解：（1）函数f(x)的定义域为：（-∞, -1）∪(-1, +∞),……………………1分

    ∵…………………………………2分

    令令得x<-2或-1<x<0.

    则函数f(x)的递增区间是(-2,-1), (0, +∞),递减区间是（-∞, -2）, (-1, 0).………4分

    （2）由（1）知，f(x)在[上递减，在[0，e-1]上递增，又

     ，故m> e2-2时，不等式恒成立.……8分

    （3）依题意，原命题等价于方程x-a+1-ln(1+x)2=0在x∈[0, 2]上有两个相异的实根，……9分

    记h(x)=x-a+1-ln(1+x)2, 则h′(x)=1-令h′(x)>0，得x<-1或x>1，令h′(x)<0，得-1<x<1.

    ∴h(x)在[0, 1)上递减，在(1,2]上递增.………………10分

    为使h(x)在[0,2]上恰好有两个相异的实根，只须h(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根，于是有即a的取值范围是(2-ln2, 3-ln3].…………14分

     


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