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A（选修4-1：几何证明选讲）
如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．
求证：DE²=DB•DA．
B（选修4-2：矩阵与变换）
求矩阵

2 1 1 2

的特征值及对应的特征向量．
C（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是

x=- 3 5 t+2 y= 4 5 t

（t为参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．
D（选修4-5：不等式选讲）
已知m＞0，a，b∈R，求证：(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

．

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一、选择题:

       1. C  2. C  3. B  4.C  5. D  6. D  7. C 8. D  9. B  10. A  11. C  12. C

二、填空题:

       13.  85，1.6    14.  800   15.    16.

三、解答题:

17.解: （1）………………………1分

       ，

               化简得…………………………3分

       （2）)

             令Z），函数f(α)的对称轴方程为

              Z).………………………………………………………12分

18. 解：（1）从盒中同时摸出两个球，有种可能情况，…………2分

       摸出两球颜色恰好相同即两个黑球或两个白球，有1+种情况，……4分

       故所求概率是………………………………………………………………6分

       （2）从盒中摸出一个球，放回后再摸出一个球，共有5×5=25种情况，……8分

       若两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”，共有2×3+3×2=12种可能情况，故所求概率是………………………………………………………………………12分

       （本题也可一一列出基本事件空间后求解）

19.解：（1）a_n+1+a_n=3n-54, a_n+2+a_n+1=3(n+1)-54.

       两式相减得a_n+2-a_n=3(n∈N^*)，

       ∴数列a₁,a₃,a₅,……, a₂, a₄, a₆, …都是公差为3的等差数列.……………………1分

       a₁=-27, a₁+a₂==-51, a₂=-24。采用叠加法可得，

       当n为奇数时，a_n=；…………………………3分

       当n为偶数时，a_n=……………………………5分

       ∴a_n=………………………………6分

       （2）因为n为偶数，所以

              S_n=(a₁+a₂)+(a₃+a₄)+……+(a_n-1+a_n)…………………………8分

              =(3×1－54)+(3×3?54)+……+[3(n?1)?54]

              =…………………………………………10分

              若n为偶数，当n=18时，S_n取到最小值-243.……………………12分

20. （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.

                       又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB.……2分

                       又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.……4分

       （2）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.

                       又PC⊥AD，∴AD⊥平面PAC，∴AC⊥AD.

                       在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，

                       ∴∠DCA=∠BAC=.

                       又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形。

                       ∴DC=2AB,  

                       ……………………8分

（3）连结BD，交AC于点M，连结EM，则

                在△BPD中，∴PD∥EM.

                又PD平面EAC，EM平面EAC，

                ∴PD∥平面EAC.……………………（12分）

21.解：（1）设直线AB的方程为y=k(x+1),

       将y=k(x+1)代入x²+3y²=5, 消去y整理得(3k²+1)x²+6k²x+3k²-5=0.………2分

       △=36k⁴-4(3k²+1)(3k²-5)>0恒成立，

       设A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), 则x₁+x₂=,………………………………4分

       由线段AB中点的横坐标是，

       得解得k=±.……………………5分

       所以直线AB的方程为或……………………6分

       （2）假设在x轴上存在点M（m, 0），使为常数.

       由（1）知x_­1+x₂=①

    所以

    =

       =……………………8分

       将①代入上式，整理得，

    ∴

    ∵

       综上，在x轴上存在定点M，使为常数……………………12分

22.解：（1）f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=,

令f′(x)=0，得x=e^1-a_.……………………3分

当x∈（0, e^1-a­­­­）时，f′(x)>0,f(x)在(0, e^1-a­­­­)内是单调递增，当x∈(e^1-a_­,+∞)时，f′(x)<0,f(x)在(e^1-a,+∞)内是单调递减.…………………………6分

∴f(x)在x=e^1-a处取得极大值f(e^1-a)=e^a-1.………………8分

（2）∵a>0, ∴e^1-a<e²,∴[f(x)]_max=f(e^1-a)=e^a-1,………………10分

∴f(x)的图象g(x)=1的图象在(0,e²]上有公共点，等价于e^a-1≥1，……………12分

两边以e底取对数可解得a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)……………………14分