解:(1)依题意在时有解:即在有解.则且方程至少有一个正根. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

如图,,…,,…是曲线上的点,,…,,…是轴正半轴上的点,且,…,,… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形(为坐标原点).

(1)写出之间的等量关系,以及之间的等量关系;

(2)求证:);

(3)设,对所有恒成立,求实数的取值范围.

【解析】第一问利用有得到

第二问证明:①当时,可求得,命题成立;②假设当时,命题成立,即有则当时,由归纳假设及

第三问 

.………………………2分

因为函数在区间上单调递增,所以当时,最大为,即

解:(1)依题意,有,………………4分

(2)证明:①当时,可求得,命题成立; ……………2分

②假设当时,命题成立,即有,……………………1分

则当时,由归纳假设及

解得不合题意,舍去)

即当时,命题成立.  …………………………………………4分

综上所述,对所有.    ……………………………1分

(3) 

.………………………2分

因为函数在区间上单调递增,所以当时,最大为,即

.……………2分

由题意,有. 所以,

 

查看答案和解析>>

已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

(Ⅰ)求实数的值; 

(Ⅱ)求在区间上的最大值;

(Ⅲ)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?说明理由.

【解析】第一问当时,,则

依题意得:,即    解得

第二问当时,,令,结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定,得到极值和最值

第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设,则,显然

是以O为直角顶点的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;

若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.

(Ⅰ)当时,,则

依题意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①当时,,令

变化时,的变化情况如下表:

0

0

+

0

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

。∴上的最大值为2.

②当时, .当时, ,最大值为0;

时, 上单调递增。∴最大值为

综上,当时,即时,在区间上的最大值为2;

时,即时,在区间上的最大值为

(Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设,则,显然

是以O为直角顶点的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;

若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.

,则代入(*)式得:

,而此方程无解,因此。此时

代入(*)式得:    即   (**)

 ,则

上单调递增,  ∵     ∴,∴的取值范围是

∴对于,方程(**)总有解,即方程(*)总有解。

因此,对任意给定的正实数,曲线上存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上

 

查看答案和解析>>


同步练习册答案