题目列表(包括答案和解析)
如图，四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，
是
的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
面
；
（3）求二面角
的平面角的正弦值．
如图，四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，
是
的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
面
．
如图，四棱锥
中，
⊥底面
∥
，
，∠
=120°，=
，∠
=90°，
（1）求证：
⊥平面
；
（2）求二面角
的正切值；
如图在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，
是
的中点.
(Ⅰ)证明
；
(Ⅱ)证明
平面
.
如图，四棱锥
中，
底面
，四边形中，
，
，
，
.
(Ⅰ)求证：平面
平面
；
(Ⅱ)设
．
(ⅰ) 若直线
与平面
所成的角为
，求线段
的长；
(ⅱ) 在线段
上是否存在一个点
，使得点到点
的距离都相等？说明理由．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．A
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9．
10．
（或
） 11．
12．
13．
14．
15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
解：
，……………………………………………… 3分
，……………………… 3分
（1）
；……………………………………………………. 2分
（2）因为
的解集为
，
所以
为
的两根，……………………………………… 2分
故
，所以
，
．……………………………………. 2分
17．（本小题满分12分）
解： 
………………………………………… 2分
………………………………………… 2分
……………………………………………………. 2分
（1）
的最大值为、最小值为
；……………………………………………… 2分
（2）单调增，故
，…………………………… 2分
即
，
从而的单调增区间为
．…………………… 2分
18．（本小题满分14分）
（1）证明：
底面
，
又
，
，故
面
面，故
………………………………………………… 4分
（2）证明：
，
，故
是
的中点，故
由（1）知，从而
面
，故
易知
，故
面
……………………………………………… 5分
（3）过点
作
，垂足为
，连结
．
由（2）知，面，故
是二面角
的一个平面角．
设
，则
，
，
从而
，故
．……………… 5分
说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给2分，写出相关点的坐标给2分，第（1）问正确给2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。
19．（本小题满分14分）
解：（1）抛物线方程为
……………………………………………………… 2分
故焦点的坐标为
………………………………………………………… 2分
（2）设
20．（本小题满分14分）
解：（1）当
时，
，
当
时，
所以
；…………………… 4分
（2）因为
，
所以
当
时，
，
当
时，
，
所以当
，
且
时，
，即
；………… 5分
（3）因为，
，所以，
因为
为等比数列，则
或
，
所以
或
（舍去），所以.………………………… 5分
21．（本小题满分14分）
解：（1）由题意知，的定义域为
，
…… 1分
当
时， 
，函数在定义域上单调递增． …… 2分
（2）①由（Ⅰ）得，当
时，函数无极值点．
②
时，
有两个相同的解
，
时，
时，函数在
上无极值点．
…… 3分
③当
时，
有两个不同解，
时，
，
,
此时 
，随
在定义域上的变化情况如下表：
减
极小值
增
由此表可知：
时，有惟一极小值点
，
…… 5分
ii) 当
时，0<
<1
此时，，随的变化情况如下表：
增
极大值
减
极小值
增
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点
；
……
7分
综上所述：
当且仅当
时有极值点;
…… 8分
当
时，有惟一最小值点
；
当时，有一个极大值点
和一个极小值点
（3）由(2)可知当
时，函数
，
此时有惟一极小值点
且
…… 9分
…… 11分
令函数
…… 12分
…… 14分
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