题目列表(包括答案和解析)
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双曲线
的离心率
,
是左，右焦点，过
作
轴的垂线与双曲线在第一象限交于P点，直线F1P与右准线交于Q点，已知
（1）求双曲线的方程；
（2）设过
的直线MN分别与左支，右支交于M、N ，线段MN的垂线平分线
与轴交于点
，若
,求
的取值范围。
江西省重点中学协作体七校联考
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
D
B
C
C
B
C
D
二、填空题
11．
cosx+sinx _ 12．
13．_____ -1____________ 14．
15．
16．
17．
三、解答题
18．解：由椭圆的标准方程知椭圆的焦点为
，离心率为
………………3分
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以，双曲线焦点在x轴上，c=4，………………2分
又双曲线与椭圆的离心率之和为
，故双曲线的离心率为2，所以a=2………………4分
又b2=c2-a2=16-4=12。………………………………………………………………………2分
所以双曲线的标准方程为
。………………………………………………1分
19．解：p真：m<0…………………………………………………………………………2分
q真：
……………………………………………………………2分
故-1<m<1。…………………………………………………………………………………2分
由
和
都是假命题知：p真q假，………………………………………………4分
故
。………………………………4分
20．解：（1）设|PF2|=x，则｜PF1|=2a-x……………………………………………………2分
∵
，∴
， ∴
…………1分
∴
，……………………………………………………………………2分
………………………………2分
（2）由题知a=4，
，故
………………………………………………1分
由
得
，…………………………………………………………………1分
又
……………………………………2分
故
，代入椭圆方程得
，………………………………………2分
故Q点的坐标为
，
，
，
。
…………………………………………………………………………………………………2分
21．解：（1）由函数
，求导数得
，…1分
由题知点P在切线上，故f(1)=4，…………………………………………………………1分
又切点在曲线上，故1+a+b+c=4①…………………………………………………………1分
且
，故3+2a+b=3②………………………………………………………………1分
③……………………2分
故
……………………1分
（2）
…………………………1分
x
－2
+
0
－
0
+
极大值
极小值
有表格或者分析说明…………………………………………………………………………3分
，…………………………………………………………2分
∴f(x)在[-3，1]上最大值为13。故m的取值范围为{m|m>13}………………………2分
22．解：（1）由题意设过点M的切线方程为：
，…………………………1分
代入C得
，则
，………………2分
，即M（－1，
）．………………………………………2分
另解：由题意得过点M的切线方程的斜率k=2，…………………………………………1分
设M(x0，y0)，
，………………………………………………………………1分
由导数的几何意义可知2x0+4=2，故x0= -1，……………………………………………2分
代入抛物线可得y0=，点M的坐标为（－1，）……………………………………1分
（2）假设在C上存在点
满足条件．设过Q的切线方程为：
，代入
，
则
，
且
．………………………………………………………2分
若
时，由于
，…………………2分
当a＞0时，有
∴ 
或 
；……………………………………2分
当a≤0时，∵k≠0，故 k无解。……………………………………………………1分
若k=0时，显然
也满足要求．…………………………………………1分
综上，当a>0时，有三个点（－2＋
，
），（－2－，
）及（－2，－
），且过这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为：
x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2。
当a≤0时，在C上有一个点（－2，－），在这点的法线过点P（－2，a），其方程为：x＝－2。……………………………………………………………………………………3分
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