题目列表(包括答案和解析)
已知递增等差数列满足:,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若不等式对任意恒成立,试猜想出实数的最小值,并证明.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中,利用设数列公差为,
由题意可知,即,解得d,得到通项公式,第二问中,不等式等价于,利用当时,;当时,;而,所以猜想,的最小值为然后加以证明即可。
解:(1)设数列公差为,由题意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等价于,
当时,;当时,;
而,所以猜想,的最小值为. …………8分
下证不等式对任意恒成立.
方法一:数学归纳法.
当时,,成立.
假设当时,不等式成立,
当时,, …………10分
只要证 ,只要证 ,
只要证 ,只要证 ,
只要证 ,显然成立.所以,对任意,不等式恒成立.…14分
方法二:单调性证明.
要证
只要证 ,
设数列的通项公式, …………10分
, …………12分
所以对,都有,可知数列为单调递减数列.
而,所以恒成立,
故的最小值为.
函数是定义在上的奇函数,且。
(1)求实数a,b,并确定函数的解析式;
(2)判断在(-1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论;
(3)写出的单调减区间,并判断有无最大值或最小值?如有,写出最大值或最小值。(本小问不需要说明理由)
【解析】本试题主要考查了函数的解析式和奇偶性和单调性的综合运用。第一问中,利用函数是定义在上的奇函数,且。
解得,
(2)中,利用单调性的定义,作差变形判定可得单调递增函数。
(3)中,由2知,单调减区间为,并由此得到当,x=-1时,,当x=1时,
解:(1)是奇函数,。
即,,………………2分
,又,,,
(2)任取,且,
,………………6分
,
,,,,
在(-1,1)上是增函数。…………………………………………8分
(3)单调减区间为…………………………………………10分
当,x=-1时,,当x=1时,。
D
[解析] 依题意得0<a<1,于是由f(1-)>1得loga(1-)>logaa,0<1-<a,由此解得1<x<,因此不等式f(1-)>1的解集是(1,),选D.
设首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a7=-2,S5=30.
(1) 求a1及d;
(2) 若数列{bn}满足an= (n∈N*),求数列{bn}的通项公式.
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