已知圆锥的底面半径r=2，半径OM与母线SA垂直，N是SA中点，NM与高SO所成的角为α，且tanα=2
（1）求圆锥的体积；
（2）求M，N两点在圆锥侧面上的最短距离．

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已知圆锥的底面半径r=2，半径OM与母线SA垂直，N是SA中点，NM与高SO所成的角为α，且tanα=2
（1）证明ON⊥OM；（2）求圆锥的体积．

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已知圆锥的底面半径r=2，半径OM与母线SA垂直，N是SA中点，NM与高SO所成的角为α，且tanα=2
（1）求圆锥的体积；
（2）求M，N两点在圆锥侧面上的最短距离．

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一、选择题：

1.A 2.B 3.C 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C 9.D 10.D 11.A 12.B

二、填空题：

13．14   14．2   15．30   16．①③

17. -1    18. －5   19．  -1-    20.     

21． 4    22．    23．10   24．412    25．①④

三、解答题：

26解：（1），

由，有，

解得。                                      

（2）解法一：    

。 

解法二：由（1），，得

∴   

∴                                       

于是，

代入得。          

27证明：（1）∵

∴                                        

（2）令中点为，中点为，连结、

∵是的中位线

∴         

又∵

∴

∴   

∴

∵为正

∴        

∴

又∵，

∴四边形为平行四边形   

∴

∴ 

28解：（1）设米，，则

∵

∴

∴                                               

∴

∴                                       

∴

∴或                                           

（2）                 

 此时                                            

（3）∵

令，                         

∵

当时，

∴在上递增                    

∴

此时                                             

答：（1）或

（2）当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小面积为24平方米；

（3）当的长度是6米时，矩形的面积最小，最小面积为27平方米。                            

29解：（1）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意。 

②若直线斜率存在，设直线为，即。

由题意知，圆心以已知直线的距离等于半径2，即：，

解之得                                           

所求直线方程是，                          

（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为

由得                  

又直线与垂直，由得

∴

为定值。

故是定值，且为6。                          

30解：（1）由题意得，                            

∴，    ∴   

∴，∴在是

单调增函数，                                         

∴对于恒成立。    

（3）       方程；  

（4）       ∴ 

 ∵，∴方程为               

 令，，

 ∵，当时，，

∴在上为增函数；

 时，， 

∴在上为减函数，  

 当时，                    

，            

∴函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，

∴①当，即时，方程无解。

②当，即时，方程有一个根。

③当，即时，方程有两个根