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（12分）已知甲盒中有2个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，将甲、乙两盒任意交换一个球。

（I）求交换后甲盒恰有2个红球的概率；

（Ⅱ）求交换后甲盒红球数的分布列及期望。

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一、选择题：

1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C 9.A 10.D 11.D  12.B

二、填空题：

13．｛―1｝ 14．0  15．45°  16.8/3   17．4  

18．如2，6，18，54等  19．(0,3/2] 20 ． 

21．　22．2y－3x＋3=0　23．I ≤98，或I＜100等

24．（1，8.2） 25． 26． ①③

三、解答题：

27解:（1）由

  _，  又_，   

(2)

同理：_，

_,

    ∴0＜x＜

故，，_..

28解法一:（1）F为PA的中点。下面给予证明：

延长DE、AB交于点M，由E为BC中点,知B为AM的中点，

连接BF,则BF∥PM，PM平面PDE,∴BF∥平面PDE。

（2）DE为正△BCD的边BC上的中线，因此DE⊥BC，∴DE⊥AD，

又PA⊥平面ABCD，即 DE⊥PA, 所以 DE⊥平面PAD.

由此知平面PDE⊥平面PAD.

作AH⊥PD于H，则AH⊥平面PDE.

作HO⊥PM于O，

则∠AOH为所求二面角的平面角，

又在Rt∆PAD中∠PDA = 45°,PA = AD = 2，

因此AH =，又AO =,HO=      

解法二：以AD为X正半轴，AP为Z轴，建立空间坐标系，

则F(0,0,a),B(1,,P(0,0,2),D(2,0,0),E(2,

,,令面PDE,

因为BF∥面PDE, ∴-1+a=0, ∴a=1, ∴F(0,0,1)   

(2)作DG⊥AB,可得G（），∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DG,又因为ABAP=A,

∴DG⊥平面PAB, 设平面PDE与平面PAB所成的锐二面角为，

=(，所以tan=.

29解: (1)由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且

,，

， ,   所以的分布列为：

.                          

(2) 记“取出的这个球是白球”为事件，“从甲盒中任取个球”为事件，

{从甲盒中任取个球均为红球},{从甲盒中任取个球为一红一白},

{从甲盒中任取个球均为白球},显然，且彼此互斥.

.            

30解:(1) 当a=1时，f(x)= .

因此,曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为:5x-y-8=0…3分

(2) x∈(0，2]时, f(x)=

若2≤a<6,则=0在(0，2)上有根x= ,且在(0，)上

>0,在(,2)上<0, 因此, f(x)在x=处取极大值,

由于只有一个极值点,所以极大值也是最大值. 由此得.

若a≥6,则在(0，2)上>0，因此，f(x)在x∈(0，2]时单调递增，

∴当 ｘ=2时f(x)最大，即2(2-a)=8∴a=0或4 ,均不合,舍去.

综上知  a= .      

(3) x<0时，f(x)= ,＜0.

f(x)单调递减，由k<0时，f(k-)≤f(-)对任意的x≥0恒成立,

知：k-≥-对任意的x≥0恒成立,即对任意的x≥0

恒成立,易得 的最大值为0.   

.           

31解：（1）由得 ,

(2) ,

所以数列是以-2为首项，为公比的等比数列，

，

 ,

,

,

 (3) 假设存在整数m、n，使成立，则，

因为

只要

又，因此m只可能为2或3,

当m=2时，n=1显然成立。n≥2有故不合.

当m=3时，n=1，故不合。n=2符合要求。

n≥3，故不合。

综上可知：m=2，n=1或m=3， n=2。

32解：（1）设A、B,直线的斜率为k.则由        

得x²-4kx-4b=0 ，

而b＞0,∴b=4. 

(2)以A、B为切点的抛物线的切线分别为

 ① ，   ②

①÷②得③   又代入③

有

即所求M点的轨迹方程为y=-4，

(3)假设存在直线y=a，被以AB为直径的圆截得的弦长为定值ℓ，

圆心距d=，

由ℓ为定值，所以a=-1

而当a=-1时，=-9 ，因此a=-1不合题意，舍去。

故符合条件的直线不存在。