练习册

  • 练习册
  • 试题
    4．不等式等证明方法:⑴比较法:作差或作比,⑵综合法,⑶分析法. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数的定义域为且，对任意都有

    数列满足N.证明函数是奇函数;求数列的通项公式;令N, 证明:当时,.

    (本小题主要考查函数、数列、不等式等知识,  考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

    查看答案和解析>>

    已知递增等差数列满足：，且成等比数列．

    （1）求数列的通项公式；

    （2）若不等式对任意恒成立，试猜想出实数的最小值，并证明．

    【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为，

    由题意可知，即，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于，利用当时，；当时，；而，所以猜想，的最小值为然后加以证明即可。

    解：（1）设数列公差为，由题意可知，即，

    解得或（舍去）．      …………3分

    所以，．        …………6分

    （2）不等式等价于，

    当时，；当时，；

    而，所以猜想，的最小值为．     …………8分

    下证不等式对任意恒成立．

    方法一：数学归纳法．

    当时，，成立．

    假设当时，不等式成立，

    当时，， …………10分

    只要证  ，只要证  ，

    只要证  ，只要证  ，

    只要证  ，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分

    方法二：单调性证明．

    要证 

    只要证  ，  

    设数列的通项公式，        …………10分

    ，    …………12分

    所以对，都有，可知数列为单调递减数列．

    而，所以恒成立，

    故的最小值为．

     

    查看答案和解析>>

    （理科做）
    阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题．
    阅读题目：对于任意实数a1，a2，b1，b2，证明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
    证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
    注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
    即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
    （其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
    问题：（1）请用这个不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式
    a2
    x
    +
    b2
    y
    ≥
    (a+b)2
    x+y
    成立．
    （2）用（1）中的不等式求函数y=
    2
    x
    +
    9
    1-2x
    (0＜x＜
    1
    2
    )    的最小值，并指出此时x的值．
    （3）根据阅读题目的证明，将不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明．

    查看答案和解析>>

    证明不等式所用的最合适的方法是    .

     

    查看答案和解析>>

    经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(km/h)之间的函数关系为y=(v>0).

    (1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/小时)

    (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?

    本题主要考查函数、不等式等基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案