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三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA=AC=，则该三棱锥的外接球的体积是    ．

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如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：OD∥平面PAB；
（Ⅱ）当k=

1

2

时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
（注：若△ABC的三点坐标分别为A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），C（x₃，y₃，z₃），则该三角形的重心坐标为：(

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

，

z1+z2+z3

3

)．）

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一、选择题

BCDC  BBCB  AA

二、填空题

11．（-1，0）；12．4；13．-4；14．-1；15．；16．x²(注：本题答案不唯一，只要满足条件 a¹0,2|a|+|b|≤1即可)

三、解答题

17．解：由条件知20cos²A=3?,即10cos²A?sinA=3cosA,又cot¹tan,∴cosA¹0,

解得sin2A=.                     ?????????????????????????????????????????????????????????4分

(1)    若∠C=60º,则cos2B=cos2(120º-A)=cos(240º-2A)=-cos(60º-2A)=-(cos60ºcos2A+sin60ºsin2A)

=-.                         ??????????????????????????????????????????????????????????????7分

(2)    若a<b<c,则A<60º.又由sin2A=<,知0<2A<60º或2A>120º.∴A<30º.???????????????11分

∵(sinA-cosA)²=1-sin2A=,∴sinA-cosA=-.???????????????????????????????????????????????????????12分

18．解:(1)设P(x,y),则=(x+1,y),=(x-1,y),

   ∵,∴(x+1)²=(x-1)²+y²,????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分

即y²=4x.     

动点P的轨迹E的方程是y²=4x.      ???????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

  (2)设直线l的方程为x=k(y-1),代入轨迹E的方程y²=4x,整理得:y²-4ky+4k=0.  ?????????6分

由题意知,(4k)²-4´4k>0且4k>0,解得k>1.    ???????????????????????????????????????????????????????????8分

由根与系数的关系可得MN的中点坐标为(k(2k-1),2k),

∴线段MN垂直平分线方程为:y-2k=-k[x-k(2k-1)],        ?????????????????????????????????10分

令y=0,得D点的横坐标x₀=2k²-k+2,

∵k>1,∴x₀>3,即为所求.      ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

19．(1)证明:连结C₁E,则C₁E^A₁B₁,

又∵A₁B₁^C₁C,∴A₁B₁^平面EDC₁,∴A₁B­₁^DE,

而A₁B₁//AB,∴AB^DE.   ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

(2)取AB中点为F,连结EF,DF,则EF^AB,∴AB^DF.

   过E作直线EH^DF于H点,则EH^平面DAB,∴EH就是直线A₁B₁到平面DAB的距离.

   在矩形C₁EFC中,∵AA₁=AB=2,∴EF=2,C₁E=,DF=2,

∴在△DEF中,EH=,

故直线A₁B₁到平面DAB的距离为.         ???????????????????????????????????????????????????????????9分

(3)过A作AM^BC于M点,则AM^平面CDB,

   过M作MN^BD于N点,连结AN,则AN^BD,∴∠ANM即为所求二面角的平面角,

   在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M为BC中点,∴MN=,

   在Rt△AMN中,tan∠ANM=,

    故二面角A-BD-C的大小为arctan.      ???????????????????????????????????????????????????????????????14分

20．解：（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数。

在方案乙中，前4年的总收入为

    =2600<6000,                       ?????????????????????????????????????????1分

故n必定不小于5，则由

    2600+320´1.5⁴(n-4)>6000，                       ?????????????????????????????????????4分

解得 n>6,故n的最小值为7，

答: 从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资。  ????????????????????????????????????????????6分

（2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y₁,y₂万元，则

y₁=760n-[50n+n(n-1)?20]=-10n²+720n,    ???????????????????????????????????????????????????????????????8分

当n≤4时，则y₁>0,y₂<0,可得y₁>y₂.          ???????????????????????????????????????????????????????????9分

当n³5时，y₂=2600+320´1.5⁴(n-4)-6000=1620n-9880，

令y₁<y₂,可得1620n-9880>-10n²+720n,

即   n(n+90)>998,   ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分

由10(10+90)>998,9(9+90)<998,可得n的最小值为10.

答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲。 ??????????????????14分

21．解: (1)设0≤x₁<x₂≤1,则必存在实数tÎ(0,1),使得x₂=x₁+t,

   由条件③得,f(x₂)=f(x₁+t)³f(x₁)+f(t)-2,

   ∴f(x₂)-f(x₁)³f(t)-2,

   由条件②得, f(x₂)-f(x₁)³0,

   故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).                 ????????????????????????????????????????????????????????????3分

   又在条件③中,令x₁=0,x₂=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,   ??????????????????????????????5分

   故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.                        ???????????????????????????????????6分

(2)解:在条件③中,令x₁=x₂=,得f()³2f()-2,即f()-2≤[f()-2],  ????????????????????????????9分

   故当nÎN*时，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤???≤[f()-2]=,

   即f()≤+2.

   又f()=f(1)=3≤2+,

   所以对一切nÎN,都有f()≤+2.                    ???????????????????????????????????????????????12分

(3)对一切xÎ(0,1,都有.

  对任意满足xÎ(0,1，总存在n(nÎN),使得

        <x≤,                    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

  根据（1）（2）结论，可知：

f(x)≤f()≤+2,

且2x+2>2´+2=+2,

故有.

综上所述，对任意xÎ(0,1,恒成立.   ?????????????????????????????????????????????16分