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（本小题满分12分）已知等比数列{a_n}中， 

   （Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；

   （Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明:；

   （Ⅲ）设，证明：对任意的正整数n、m，均有

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（本小题满分12分）已知函数，其中a为常数.

   （Ⅰ）若当恒成立，求a的取值范围；

   （Ⅱ）求的单调区间.

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武汉市教育科学研究院命制                                             2009.4.16

一、选择题

1．B       2．C       3．D      4．A      5．B       6．C       7．A      8．A      9．B       10．D

二、填空题

11．7             12．（2，3）         13．          14．        15．

三、解答题

16．解：（1）由

由知：，于是可知

得.………………………………………………………（6分）

（2）由及

而在上单调递增

可知满足：时单调递增

于是在定义域上的单调递增区间为.………………（12分）

17．解：（1）摸球3次就停止，说明前三次分别都摸到了红球，

则……………………………………………………………（5分）

（2）随机变量的取值为0，1，2，3.

则，

，

.

随机变量的分布列是

0

1

2

3

P

的数学期望为：

.………………………（12分）

18．解：（1）在四棱锥中，底面，则

若，则和面内相交的两直线均垂直

面，故.

在底面的平行四边形中，令

在中，.

于是

在中，由可知：

求得或

依题意，于是有.……………………………………………（6分）

（2）过点作，连结

.

又，面

面

由三垂线定理知：为所求二面角的平面角

过点

易知

又

在中

故所求二面角的大小为45.………………………………………………（12分）

19．解：（1）

故轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支.

设其方程为：

.

故轨迹方程为.…………………………………………（6分）

（2）由

方程有两个正根.

设，由条件知.

而

即

整理得，即

由（1）知，即显然成立.

由（2）、（3）知

而.

.

故的取值范围为……………………（13分）

20．解：（1）由，

求导数得到：

，故在有唯一的极值点

，且知

故上有两个不等实根需满足：

故所求m的取值范围为.………………………………………（6分）

（2）又有两个实根

则

两式相减得到：

于是

，故

要证：，只需证：

只需证：

令，则

只需证明：在上恒成立.

又则

于是由可知.故知

上为增函数，则

从而可知，即（*）式成立，从而原不等式得证.……………

……………………………………………………………（13分）

21．解：（1）经过计算可知：

.

求得.…………………………………………（4分）

（2）由条件可知：.…………①

类似地有：.…………②

①-②有：.

即：.

因此：

即：故

所以：.…………………………………………（8分）

（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数.

则由（2）可知：…………③

由，及可知.

当时，为整数，利用，结合③式，反复递推，可知，，，，…均为整数.

当时，③变为………④

我们用数学归纳法证明为偶数，为整数

时，结论显然成立，假设时结论成立，这时为偶数，为整数，故为偶数，为整数，所以时，命题成立.

故数列是整数列.

综上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）