如图，点P是双曲线（x＞0）上一点，以点P为圆心，2为半径的圆与直线y=x的交点为A、B．
（1）当⊙P与x轴和y轴都相切时，求点P的坐标及双曲线的函数表达式；
（2）若点P在双曲线（x＞0）上运动，当弦AB的长等于时，求点P的坐标．

如图，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线段AB（中点除外）上的动点，以点M为圆心，OM的长为半径作圆，与x轴、y轴分别相交于点C、D．

（1）设点M的横坐标为a，则点C的坐标为，点D的坐标为（用含有a的代数式表示）；
（2）求证：AC=BD；
（3）若过点D作直线AB的垂线，垂足为E．
①求证：AB=2ME；
②是否存在点M，使得AM=BE？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知直线y=x+8交x轴于A点，交y轴于B点，过A、0两点的抛物线y=ax²+bx（a＜O）的顶点C在直线AB上，以C为圆心，CA的长为半径作⊙C．
（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式；
（2）将⊙C沿x轴翻折后，得到⊙C′，求证：直线AC是⊙C′的切线；
（3）若M点是⊙C的优弧

ABO

（不与0、A重合）上的一个动点，P是抛物线上的点，且∠POA=∠AM0，求满足条件的P点的坐标．