若在上有极值点.则实数的取值范围是 A. B. C. D. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

(Ⅰ)求实数的值; 

(Ⅱ)求在区间上的最大值;

(Ⅲ)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?说明理由.

【解析】第一问当时,,则

依题意得:,即    解得

第二问当时,,令,结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定,得到极值和最值

第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设,则,显然

是以O为直角顶点的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;

若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.

(Ⅰ)当时,,则

依题意得:,即    解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

①当时,,令

变化时,的变化情况如下表:

0

0

+

0

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

。∴上的最大值为2.

②当时, .当时, ,最大值为0;

时, 上单调递增。∴最大值为

综上,当时,即时,在区间上的最大值为2;

时,即时,在区间上的最大值为

(Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在轴两侧。

不妨设,则,显然

是以O为直角顶点的直角三角形,∴

    (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;

若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.

,则代入(*)式得:

,而此方程无解,因此。此时

代入(*)式得:    即   (**)

 ,则

上单调递增,  ∵     ∴,∴的取值范围是

∴对于,方程(**)总有解,即方程(*)总有解。

因此,对任意给定的正实数,曲线上存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上

 

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若函数上没有极值点,则实数的取值范围为________________。

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若函数上没有极值点,则实数的取值范围为________________。

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精英家教网本题有(1),(2),(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
(1)选修4-2:矩阵与变换
如图所示:△OAB在伸缩变换M作用下变为△OA1B1
(i)求矩阵M的特征值及相应的特征向量;
(ii)求逆矩阵M-1以及(M-120
(2)选修4-4:坐标系与参数方程.
已知曲线C1的参数方程为
x=2sinθ
y=cosθ
(θ为参数),曲线C2的参数方程为
x=2t
y=t+1
(t为参数)
(i)若将曲线C1与C2上各点的横坐标都缩短为原来的一半,分别得到曲线C1和C2,求出曲线C1和C2的普通方程;
(ii)以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求过极点且与C2垂直的直线的极坐标方程.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知a,b,c为实数,且a+b+c+2-2m=0,a2+
b 2
4
+
c 2
9
+m-1=0
(i)求证:a2+
b 2
4
+
c 2
9
(a+b+c) 2
14

(ii)求实数m的取值范围.

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若函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上没有极值点,则实数m的取值范围是(    )。

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同步练习册答案