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（本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

   （1）求圆的方程；

   （2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由

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说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．{0，1}       2．1       3．2      4．－3       5．5      6．[2，5]    

7．60            8．4      9．   10．（，）     11．     12．4 

13．        14．(，]

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

解：（1）tana＝＝，…………………………………………3分

所以＝，又因为sin²a＋cos²a＝1，

解得sina＝．………………………………………………………7分

（2）因为0＜a＜＜b＜p，所以0＜b－a＜p．

因为cos(b－a)＝，所以sin(b－a)＝．……………………9分

所以sinb＝sin[(b－a)＋a]

＝sin(b－a)cosa＋cos(b－a)sina＝×＋×＝，……12分

因为b∈(，p)，

所以b＝．………………………………………………………14分

16．（本题满分14分）

证明：（1）取AB₁中点F，连结DF，CF．因为D为A₁B₁中点，

所以DF∥=AA₁．

因为E为CC₁中点，AA₁∥=CC₁，

所以CE∥=DF．

所以四边形CFDE为平行四边形．

所以DE∥CF．…………………………………………………4分

因为CFÌ平面ABC，DE(/平面ABC，

所以DE∥平面ABC．…………………………………………7分

（2） 因为AA₁C₁C为矩形，所以AC^CC₁．

因为BB₁C₁C为菱形，所以CC₁＝CB．B₁C^BC₁．…………8分

因为AC∶AB∶CC₁＝3∶5∶4，

所以AC∶AB∶BC＝3∶5∶4，

所以AC²＋BC²＝AB²．……………………………………10分

所以AC^BC．

所以AC^平面BB₁C₁C．…………………………………12分

所以AC^BC₁．

所以BC₁^平面AB₁C．……………………………………14分

17．（本题满分14分）

解：（1）设从A地运出的油量为a，根据题设，直接运油到B地，往返油耗等于a，

所以B地收到的油量为(1－)a．

所以运油率P₁＝＝．……………………………………3分

而从A地运出的油量为a时，C地收到的油量为(1－)a，

B地收到的油量(1－)(1－)a，

所以运油率P₂＝

＝(1－)(1－)＝(＋)(1－)．…………………………7分

所以P₂－P₁＝x(1－x)，因为0＜x＜1，

所以P₂－P₁＞0，即P₂＞P₁．…………………………………………9分

（2）因为P₂＝(＋)(1－)≤＝．

当且仅当＋＝1－，即x＝时，取“＝”．

所以当C地为AB中点时，运油率P₂有最大值．……………………………………14分

18．（本题满分16分）

解：（1）因为抛物线顶点在原点，准线方程为x＝－1，

所以抛物线开口向右，且－＝－1，所以p＝2．

所以所求的抛物线方程为y²＝4x．…………………………………………4分

（2）设P(x₀，y₀)，则y₀²＝4x₀，半径r＝PF＝x₀＋1，

圆P的方程为(x－x₀)₂＋(y－y₀)²＝(x₀＋1)²，……………………………6分

设AB的方程为y＝2x＋b，由AB＝2CD得，

圆心P到直线AB的距离2d＝，……………………………6分

所以5d²＝r²，即d＝r．

因为r＝|x₀＋1|，d＝，

代入得ㄏ2x₀－y₀＋bㄏ＝ㄏx₀＋1ㄏ．…………………………………8分

即2x₀－y₀＋b＝x₀＋1或2x₀－y₀＋b＝－x₀－1．

所以x₀－y₀＋b－1＝0或3x₀－y₀＋b＋1＝0．

因为y₀²＝4x₀，所以x₀＝y₀²，

代入得y₀²－y₀＋(b－1)＝0或y₀²－y₀＋(b＋1)＝0．……………………10分

方程y₀²－y₀＋(b－1)＝0关于y₀有解Û1－(b－1)≥0，b≤2．

方程y₀²－y₀＋(b＋1)＝0．关于y₀有解Û1－3(b＋1)≥0，b≤－．…12分

综上所述，b的最大值为2．……………………………………………14分

此时，y₀＝2，x₀＝1，r＝x₀＋1＝2，

所以圆P的方程为(x－1)²＋(y－2)²＝4．……………………………16分

19．（本题满分16分）

解： f ¢(x)＝(x＞0)  2分

   （1）由已知，得f ¢(x)在[1，＋∞)上有解，即a＝在(1，＋∞)上有解，

       又当x∈(1，＋∞)时，＜1，

所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是(0，1)．………………………………6分

   （2）①当a≥时，

       因为f ¢(x)＞0在(e，e²)上恒成立，这时f(x)在[e，e²]上为增函数，

所以当x＝e时，f(x)_min＝f(e)＝1＋  ……………………………………………… 8分

       ②当0＜a≤时，

因为f ¢(x)＜0在(e，e²)上恒成立，

这时f(x)在[e，e²]上为减函数，

所以，当x＝e²时，f(x)_min＝f(e²)＝2－，…………………………………………10分

       ③当＜a＜时，令f¢(x)＝0得，x＝∈(e，e²)，

又因为对于x∈(e，)有f ¢(x)＜0，

对于x∈(，e²)有f ¢(x)＞0，

所以当x＝时，f(x)_min＝f()＝ln＋1－．………………………………………14分

       综上，f(x)在[e，e²]上的最小值为

       f(x)_min＝………………………………………16分

20．（本题满分16分）

解：（1）由条件得a_n＋2＝(2＋)a_n＋1－a_n，

所以a_n＋2－a_n＋1＝2(a_n＋1－a_n)，

即b_n＋1＝2b_n，又b₁＝a₂－a₁＝2，所以b_n≠0，

从而＝2对n∈N*成立，

所以数列{b_n}是首项为b₁＝2，公比q＝2的等比数列，

所以b_n＝2ⁿ．…………………………………………………6分

（2）由（1）得a_n＋1―a_n＝2ⁿ．所以(n＋1)a_n＋1－na_n＝(n＋1)×2ⁿ，………………8分

所以2a₂－a₁＝2×2¹，

3a₃－2a₂＝3×2²，

4a₄－3a₃＝4×2³，

…………，

na_n－(n－1)a_n－1＝n×2^n－1，

相加得na_n－a₁＝2×2¹＋3×2²＋4×2³＋…＋n×2^n－1，

所以2(na_n－a₁)＝     2×2²＋3×2³＋…＋(n－1)×2^n－1＋n×2ⁿ．

两式相减得：－（na_n－a₁)＝2(2¹＋2²＋…＋2^n－1)－n×2ⁿ＝2^n＋1－4－n×2ⁿ，所以

a_n＝2ⁿ－＝．…………………………………………………………11分

（3）因为c_n＝＝＝4[－]，…………13分

所以S_n＝c₁＋c₂＋…＋c_n

＝4[－＋－＋－＋…＋－]

＝4[－]＝2－＜2．…………………………………………………16分

南京市第十三中学2009届高三年级第三次模拟考试

        数学附加卷答案   2009.5

1．（几何证明选讲）（本题满分10分）

证明：证明：因为A，B，C，D四点共圆，所以ÐADF＝ÐABC．

因为PF∥BC，所以ÐAFP＝ÐABC．所以ÐAFP＝ÐFQP．

因为ÐAPF＝ÐFPA，所以△APF∽△FPQ．所以＝．………………5分

所以PF²＝PA×PD．因为PQ与圆相切，所以PQ²＝PA×PD．

所以PF²＝PQ²．所以PF＝PQ．……………………………………………10分

2．（矩阵与变换）（本题满分10分）

解：∵MN＝ ＝，

设直线y＝2x＋1上一点(x₀，y₀)在MN作用下变为(x¢，y¢)，则

＝， 即＝，即

从而可得……………………………………5分

∵y₀＝2x₀＋1，代入得y¢＝2(x¢－y¢)＋1，

化简得2x¢－y¢＋1＝0，即6x¢－5y¢＋3＝0．

即变换后的直线方程是6x－5y＋3＝0．…………………………10分

3．（坐标系与参数方程）（本题满分10分）

解：⊙O的直角坐标方程是x²＋y²－x－y＝0，

即(x－)²＋(y－)²＝．………………………………………………3分

直线l的极坐标方程为r(cosq－sinq)＝4，

直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．………………………………6分

设M(＋cosq，＋sinq)为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离

d＝＝，

当q＝时，d_min＝．…………………………………………………10分

4．（不等式选讲）（本题满分10分）

解：因为＋＋≥3＝3，………………………………………4分

所以ㄏx＋1ㄏ＋ㄏx－1ㄏ≤3，

x∈[－，]．…………………………………………………………10分

5．（本题满分10分）

解：解：（1）选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率

       ………………………………………………3分

   （2）ξ的取值为100，80，60，40.…………………………………4分

       ……………………………………………………8分

ξ的分布列为

ξ

100

80

60

40

       ……………………………………………………………………………………9分

Eξ=…………………………………………10分

6．（本题满分10分）

解：（1）∵，∴.

∴（）.

∴（）.

∴（）.

∴（）.

∴数列为等比数列，其公比为，首项，

而，且，∴.

∴.  

∴.…………………………………………………………4分．

   （2）∵，

     ∴  .

∴.

∴，        ①

∴2.       ②

①-②得 -，

              ，

∴.…………………………………………………6分．

∴（）==.

当时，=；

当时，-（）=4（4-5）=-4，；

当时，，

且，

∴时，总有.…………………………………………………10分．

∴时，总有．