已知数列{a_n}满足（n∈N₊，且n≥2），a₄=81．
（1）求数列的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）数列为等差数列，求实数p的值；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

解法二：

建立空间直角坐标系D―xyz，如图，

   （I）证明：

连接A₁B，设A₁B∩AB₁ = E，连接DE.

设A₁A = AB = 1，

则

 …………………………3分

，

 ……………………………………4分

   （II）解：， ，

设是平面AB₁D的法向量，则，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是 ……………………6分

设二面角B―AB₁―D的大小为θ，，

∴二面角B―AB₁―D的大小为 …………………………8分

   （III）解由（II）得平面AB₁D的法向量为，

取其单位法向量

∴点C到平面AB₁D的距离 ……………………12分

19、【解】（1）设袋中原有n个白球，由题意知：

．

∴，解得或（舍去），即袋中原有3个白球．……4分

（2）由题意，的可能取值为1，2，3，4，5，

，，，

，．

所以，取球次数的分布列为：

1

2

3

4

5

P

……8分

（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到

白球”的事件为A，则，

因为事件两两互斥，所以

．……12分

20、【解】（1）设，则，∴，

又为奇函数，

∴函数的解析式为    ……4分

（II）假设存在实数a符合题意，先求导，

①当a≥时，由于．则≥0．

∴函数是上的增函数，

∴，则（舍去）．……8分

②当时，≤≤；

．则

在上递减，在上递增，

∴，解得，

综合（1）（2）可知存在实数，使得当时，有最小值3．12分

21【解】（1）当n≥2时，，整理得，

∴{a_n}是公比为a的等比数列．……4分

（2） ，．

（i）当a＝2时，，，

两式相减得．

∴．……8分

（ii），∴n为偶数时，，n为奇数时，，若存在满足条件的正整数m，则m为偶数．

（），当时，，

∴，又，

当时，，即；

当时，，即．

故存在正整数m＝8，使得对任意正整数n都有≥．……12分

22、【解】（1）证明：由g(x)=′(x)=

      由xf′（x）＞f(x)可知：g′(x) ＞0在x＞0上恒成立.

      从而g(x)= ………………………………4分

  （2）由（1）知g(x)=

      在x₁＞0,x₂＞0时， 

于是＜

两式相加得到：f(x₁)+f(x₂)＜f(x₁+x₂) …………………………………………8分

（3）由（2）中可知：

g(x)=

   由数学归纳法可知：x_i＞0(i=1,2,3,…,n)时,

有f(x₁)+f(x₂)+f(x₃)+… +f(x_n)＜f(x₁+x₂+x₃+…+x_n) (n≥2)恒成立. ……………10分

设f(x)=xlnx，则在x_i＞0(i=1,2,3,…,n)时

有x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜(x₁+x₂+…+x_n)ln(x₁+x₂+…+x_n)（n≥2）……（*）恒成立.

令…+=…+

 由＜…+

＞…+ ………………………………12分

(x₁+x₂+…+x_n)ln(x₁+x₂+…+x_n)<(x₁+x₂+…+x_n)ln(1-…+x_n)

(∵ln(1+x)＜x) ＜-   (**)………………………13分

由（**）代入（*）中，可知：

…+

于是：…+…………………14分