查看答案和解析>>

过点M(－2,0)的直线l与椭圆x²＋2y²＝2交于P₁，P₂，线段P₁P₂的中点为P．设直线l的斜率为k₁(k₁≠0)，直线OP(O为坐标原点)的斜率为k₂，则k₁k₂等于(　　)

A．－2

B．2

C．－

D．

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

过点M(－2,0)的直线l与椭圆x²＋2y²＝2交于P₁，P₂，线段P₁P₂的中点为P．设直线l的斜率为k₁(k₁≠0)，直线OP(O为坐标原点)的斜率为k₂，则k₁k₂等于(　　)

A．－2

B．2

C．－

D．

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）

1．B．2．B．3．C．4．A．5．A．6．D．7．C．8．B．9．B．10．C．11．D．12．D．

二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）

13．；    14．(－∞，－1]∪[3，＋∞)∪{0}；    15．1，－1，2，－2；     16．

三、解答题：（本大题6个小题，共74分）

17．（12分）

解：（Ⅰ）∵()²＝?＋?＋?，∴ ()²＝?(＋)＋? ，

 即()²＝?＋?，即?＝0．∴△ABC 是以C为直角顶点的直角三角形．

∴sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，A∈(0，) ，

∴sinA＋sinB的取值范围为．

（Ⅱ）在直角△ABC中， a＝csinA，b＝ccosA．

若a²(b＋c)＋b²(c＋a)＋c²(a＋b)≥kabc，对任意的满足题意的a、b、c都成立，

则有≥k，对任意的满足题意的a、b、c都成立，

∵

＝[c²sin²A(ccosA＋c)＋c²cos²A(csinA＋c)＋c²(csinA＋ccosA)]

＝[ sin²AcosA＋cos²A sinA＋1＋cosA＋sinA]＝cosA＋sinA＋                           

令t＝sinA＋cosA，t∈，

设f(t)＝＝t＋＝t＋＝t－1＋＋1．

f(t)＝t－1＋＋1，当t－1∈时 f(t)为单调递减函数，

∴当t＝时取得最小值，最小值为2＋3，即k≤2＋3．

∴k的取值范围为（－∞，2＋3]．

命题意图：本题是平面向量与三角函数相结合的问题，运用平面向量的运算的意义转化为三角函数的边角关系，进而运用三角函数的图象与性质求值域．第Ⅱ小题将不等式恒成立的问题转化为求三角函数的最值，其中运用了换元法．

18．（12分）

解：（Ⅰ）一次摸奖从个球中任选两个，有种，它们等可能，其中两球不同色有种，一次摸奖中奖的概率．

（Ⅱ）若，一次摸奖中奖的概率，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是．

(Ⅲ)设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为，，

，知在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值．又，解得．

答：当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．

命题意图：本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合．第Ⅲ小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值．如果学生直接用代替，函数将比较烦琐，这时需要运用换元的方法，将看成一个整体，再求最值．

19．（12分）

（Ⅰ）解：∵f(x)＋g(x)＝10^x ①，∴f(－x)＋g(－x)＝10^－x，∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴－f(x)＋g(x)＝10^－x ②，由①，②解得f(x)＝(10^x－)，g(x)＝(10^x＋)．

（Ⅱ）由y＝(10^x－)得，(10^x)²－2y×10^x－1＝0，解得10^x＝y±，

∵10^x＞0，∴10^x＝y＋，x＝lg(y＋)，∴f(x)的反函数为f^－1(x)＝lg(x＋)．x∈R．

（Ⅲ）解法一：g(x₁)＋g(x₂)＝(10＋)＋(10＋)＝(10＋10)＋(＋)

≥×2＋×2＝10＋＝2g()．

解法二：[g(x₁)＋g(x₂)]－2g()＝(10＋)＋(10＋)－(10＋)

＝－＝

＝≥＝0．

（Ⅳ）f(x₁－x₂)＝f(x₁)g(x₂)－g(x₁)f(x₂)，g(x₁＋x₂)＝g(x₁)g(x₂)－f(x₁)f(x₂)．

命题意图：考查函数的函数解析式，奇函数，单调性，反函数等常规问题的处理方法，第（Ⅲ）问，第（Ⅳ）问把函数与不等式的证明，函数与指对式的化简变形结合起来，考查学生综合应用知识的能力．

20．（12分）

解：设进水量选第x级，则t小时后水塔中水的剩余量为：

y＝100＋10xt－10t－100，且0≤t≤16．

根据题意0＜y≤300，∴0＜100＋10xt－10t－100≤300．?

当t＝0时，结论成立．

当t＞0时，由左边得x＞1＋10()

令m=，由0＜t≤16，m ≥，

记f(t)=1＋10（）=1＋10m²－10m³，（m ≥），

则f¢(t)=20m ? 30 m ² =0得m = 0或m =．

∵当≤m ＜时，f¢(t)＞0；当m ＞时，f¢(t)＜0，

∴所以m =时(此时t =)，f(t)最大值=1＋10（）²－10（）³=≈2.48．

当t＝时，1＋10（）有最大值2.48．∴x＞2.48，即x≥3．

由右边得x≤＋1，

当t＝16时，＋1有最小值＋1=∈(3，4)．即x≤3．

21．（12分）

（Ⅰ）解：设N(x₀，y₀)，（x₀＞0），则直线ON方程为y＝x，与直线x＝－p交于点M(－p，－)，代入＝得，＝，

或＝．

化简得(p²－1)x₀²＋p²y₀²＝p²－1．

把x₀，y₀换成x，y得点N的轨迹方程为(p²－1)x²＋p²y²＝p²－1．(x＞0)

（1）当0＜p＜1时，方程化为x²－＝1表示焦点在x轴上的双曲线的右支；

（2）当p＝1时，方程化为y＝0，表示一条射线（不含端点）；

（3）当p＞1时，方程化为x²＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的右半部分．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知|AN|＝＝

＝＝x₀＋1．

当0＜p＜1时，因x₀∈[1，＋∞)，故|AN|无最大值，不合题意．

当p＝1，因x₀∈(0，＋∞)，故|AN|无最大值，不合题意．

当p＞1时，x₀∈(0，1]，故当x₀＝1时，|AN|有最大值＋1，由题意得＋1≤，

解得p≥2．所以p的取值范围为[2，＋∞)．

命题意图：通过用设点，代换，化简，检验等步骤求曲线方程，考查解析几何中已知曲线求方程的能力，并结合含参数的方程表示的曲线类型的讨论考查学生的分类讨论思想的应用．

22．（14分）

解：（Ⅰ）∵　，a，N*，

∴　　　∴　　　∴　

∴　           ∴　a＝2或a＝3．

∵当a＝3时，由得，即，与矛盾，故a＝3不合题意． 　

∴a＝3舍去，   ∴a＝2．

（Ⅱ），，由可得． 　

∴．∴ 是5的约数，又，∴　b＝5 ．

(Ⅲ)若甲正确，则存在（）使，即对N*恒成立，

当时，，无解，所以甲所说不正确．

若乙正确，则存在（）使，即对N*恒成立，

当时，，只有在时成立，

而当时不成立，所以乙所说也不成立．

命题意图：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，用两边夹的方法确定整数参数．第Ⅲ小题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．