已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为-（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON-BM的值为常数？
（Ⅲ）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点．将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x-上，请说明理由．

如图，已知抛物线y=（a+2）x²+4ax+a²-1经过坐标原点，交x轴的正半轴于点D．
（1）求a的值；
（2）设抛物线的顶点为M，利用尺规，在抛物线的对称轴上，作点N，使得△OMN为等腰三角形．若不止一个，则分别记作N₁、N₂、N₃、…；
（3）若点P为抛物线对称轴右侧部分上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，PB∥x轴交抛物线左侧部分于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，问：是否存在这样的点P，使得矩形PACB恰好为正方形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为-（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON-BM的值为常数？
（Ⅲ）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点．将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x-上，请说明理由．