如图，双曲线C₁：

x2

4

-

y2

b2

=1与椭圆C₂：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A₁、A₂第一象限内的点P在双曲线C₁上，线段OP与椭圆C₂交于点A，O为坐标原点．
（I）求证：

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

为定值（其中kAA1表示直线AA₁的斜率，kAA2等意义类似）；
（II）证明：△OAA₂与△OA₂P不相似．
（III）设满足{（x，y）|

x2

4

-

y2

m2

=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|

x2

4

-

y2

3

＞1，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

如图，双曲线C₁：与椭圆C₂：（0＜b＜2）的左、右顶点分别为A₁、A₂第一象限内的点P在双曲线C₁上，线段OP与椭圆C₂交于点A，O为坐标原点．
（I）求证：为定值（其中表示直线AA₁的斜率，等意义类似）；
（II）证明：△OAA₂与△OA₂P不相似．
（III）设满足{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R} 的正数m的最大值是b，求b的值．

查看答案和解析>>

已知椭圆C：=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上总存在点P，使得点P在以F₁F₂为直径的圆上；
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）若AB是椭圆C的任意一条不垂直x轴的弦，M为弦AB的中点，且满足K_AB•K_OM=-（其中K_AB、K_OM分别表示直线AB、OM的斜率，O为坐标原点），求满足题意的椭圆C的方程．

查看答案和解析>>

1．解析：，故选A。

2．解析：抽取回族学生人数是，故选B。

3．解析：由，得，此时，所以，，故选C。

4．解析：∵∥，∴，∴，故选C。

5．解析：设公差为，由题意得，；，解得或，故选C。

6．解析：∵双曲线的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴，又∵，∴，∴双曲线的渐近线方程是,故选D.

7.解析：∵、为正实数，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因为函数在是增函数，∴，故恒成立的不等式是①③④。故选C.

8．解析：∵，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，∴，故选D。

9．解析：∵

，∴此函数的最小正周期是，故选C。

10．解析：如图，∵正三角形的边长为，∴，∴，又∵，∴，故选D。

11．解析：∵在区间上是增函数且，∴其反函数在区间上是增函数，∴，故选A

12．解析：如图，①当或时，圆面被分成2块，涂色方法有20种；②当或时，圆面被分成3块，涂色方法有60种；

③当时，圆面被分成4块，涂色方法有120种，所以m的取值范围是，故选A。

13．解析：将代入结果为，∴时，表示直线右侧区域，反之，若表示直线右侧区域，则，∴是充分不必要条件。

14.解析：∵，∴时，，又时，满足上式，因此，。

15．解析：设正四面体的棱长为，连，取的中点，连，∵为的中点，∴∥，∴或其补角为与所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴与所成角的余弦值为。

16．解析：∵，∴，∵点为的准线与轴的交点，由向量的加法法则及抛物线的对称性可知，点为抛物线上关于轴对称的两点且做出图形如右图，其中为点到准线的距离，四边形为菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量与的夹角为。

17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分

∴，，………4分

（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分

又∵，∴，∴，………………………8分

∴。………………………10分

18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分

（Ⅱ）∵三科会考不合格的概率均为，∴学生甲不能拿到高中毕业证的概率；……………………理6文8分

（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分别为，∴学生甲被评为三好学生的概率为。……………………12分

19．(12分)解析：（Ⅰ）∵，∴，

 ，，………………………3分

（Ⅱ）∵，∴，

∴，

又，∴数列自第2项起是公比为的等比数列，………………………6分

∴，………………………8分

（Ⅲ）∵，∴，………………………10分

∴。………………………12分

20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴。………………………4分

（Ⅱ）∵平面，∴，，∴为二面角的平面角，………………………6分

，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小为。………………………8分

（Ⅲ）过点做∥，交于点，∵平面，∴为在平面内的射影，∴为与平面所成的角，………………………10分

∵，∴，又∵∥，∴和与平面所成的角相等，∴与平面所成角的正切值为。………………………12分

解法2：如图建立空间直角坐标系，（Ⅰ）∵，，∴点的坐标分别是，，，∴，，设，∵平面，∴，∴，取，∴，∴。………………………4分

（Ⅱ）设二面角的大小为，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小为。………………………8分

（Ⅲ）设与平面所成角的大小为，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴与平面所成角的正切值为。………………………12分

21.解析：（Ⅰ）设抛物线方程为，将代入方程得

所以抛物线方程为。………………………2分

由题意知椭圆的焦点为、。

设椭圆的方程为，

∵过点，∴，解得，，，

∴椭圆的方程为。………………………5分

（Ⅱ）设的中点为，的方程为：，

以为直径的圆交于两点，中点为。

设，则

∵  

………………………8分

∴

………………………10分

当时，，，

此时，直线的方程为。………………………12分

22．(12分)解析：（Ⅰ）∵是偶函数，∴，

又∵∴，，………………………2分

由得，，

∵时，；时，；时，；∴时，函数取得极大值，时，函数取得极小值。………………………5分

（Ⅱ）∵在区间上为增函数，∴在上恒成立，∴

且在区间上恒成立，………………………7分

∴

∴……………………9分

又∵=，∵

∴，∴的取值范围是。………………………12分