如图，在平面直角坐标系中，一底角为60°的等腰梯形ABCD的下底AB在x轴的正半轴上，A为坐标原点，点B的坐标为（m，0），对角线BD平分∠ABC，一动点P在BD上以每秒一个单位长度的速度由B→D运动（点P不与B，D重合）．过P作PE⊥BD交AB于点E，交线段BC（或CD）于点F．
（1）用含m的代数式表示线段AD的长是；
（2）当直线PE经过点C时，它的解析式为y=

3

x-2

3

，求m的值；
（3）在上述结论下，设动点P运动了t秒时，△AEF的面积为S，求S与t的函数关系式；并写出t为何值时，S取得最大值，最大值是多少？

如图，AB是半圆O的直径，C是半径OA上一点，PC⊥AB，点D是半圆上位于PC右侧的一点，连接AD交线段PC于点E，且PD=PE．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC=8，设OC=x，PD²=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当x=1时，求tan∠BAD的值．

如图，四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限，B、C在x轴上，A点函数y=

2

x

上，且AB∥CD∥y轴，AD∥x轴，B（1，0）、C（3，0）．
（1）试判断四边形ABCD的形状；

（2）若点P是线段BD上一点PE⊥BC于E，M是PD的中点，连EM、AM．求证：AM=EM；

（3）在图（2）中，连接AE交BD于N，则下列两个结论：
①

BN+DM

MN

值不变；
②

BN2+DM2

MN2

的值不变．其中有且仅有一个是正确的，请选择正确的结论证明并求其值．