题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分12分）
某甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子；某乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子.
（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一个球，直到取到红球为止，求甲取球次数
的数学期望；
（Ⅱ）若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为乙胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由.
（本小题满分12分）
计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为
，
，
；在上机操作考试中合格的概率分别为
，
，
.所有考试是否合格相互之间没有影响.
（Ⅰ）甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？
（Ⅱ）求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率；
(Ⅲ)用
表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求的分布列和数学期望
.
（本小题满分12分）甲有一个装有
个红球、
个黑球的箱子，乙有一个装有
个红球、
个黑球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球，并约定:所取两球同色时甲胜，异色时乙胜（，，，
）．
(Ⅰ)当
,时，求甲获胜的概率；
（Ⅱ）当
，
时，规定：甲取红球获胜得3分；取黑球获胜得1分；甲负得0分．求甲的得分期望达到最大时的，值；
（Ⅲ）当
时，这个游戏规则公平吗？请说明理由．
（本小题满分12分）
甲、乙两家网络公司，1993年的市场占有率均为A，根据市场分析与预测，甲、乙公司自1993年起逐年的市场占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市场占有率都比前一年多
，乙公司自1993年起逐年的市场占有率如图所示：
（I）求甲、乙公司第n年市场占有率的表达式；
（II）根据甲、乙两家公司所在地的市场规律，如果某公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公司将被另一公司兼并，经计算，2012年之前，不会出现兼并局面，试问2012年是否会出现兼并局面，并说明理由．
（本小题满分12分）
2010年广东亚运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K
和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员
的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前
训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：
甲系列：
|
动作 |
K |
D |
||
|
得分 |
100 |
80 |
40 |
10 |
|
概率 |
|
|
|
|
乙系列：
|
动作 |
K |
D |
||
|
得分 |
90 |
50 |
20 |
0 |
|
概率 |
|
|
|
|
现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分。
（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率；
（2）若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望EX．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
理
A
C
B
D
A
C
B
C
C
B
B
D
文
D
C
B
D
B
C
B
C
C
B
A
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（理）2 （文） 14．（理） （文）243 15． 16．（1，2）（2，3）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解： ????????????????????????????????????????????????????????? （2分）
由正弦定理得???????????????????????????????????????????? （4分）
??????????????????????????????????????????????????????????????? （5分）
??????????????????????????????????????????????? （6分）
???????????????????????????????????????????????????? （8分）
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （9分）
????????????????????????????????????????????????????????????????? （10分）
18．（理）解：????????????????????????????????????????? （2分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （4分）
????????????????????????????????????????? （6分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （8分）
由此可知，，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，该选甲厂的材料。??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（文）解：记“甲第次试跳成功“为事件，“乙第次试跳成功”为事件，依题意得且相互独立?????????????????????????????????????????????????????????????? （2分）
（I）“甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立，
。
答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063????????????????????????????????????????? （6分）
（Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件，
解法一：且彼此互斥，
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （8分）
????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
解法二：
答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88
19．（I）证明：由直三棱柱性质知
又
???? …………………………………（理4分文6分）
（Ⅱ）以A为原点，分别为
轴，建立如图的空间直角坐标系
直线
连结易知是平面的一个法向量，
=（0，1，-1），设为平面
的一个法向量，则
又
令得得
设二面角的大小为，则
二面角的大小为…………………………（理8分文12分）
（Ⅲ）又
点到平面的距离………………………（理12分）
20．（理）解：（I）
当，即时，在上单调递增
???????????????????????????????????? （2分）
??????????????????????????????? （4分）
?????????????????????????????????????????????????? （6分）
（Ⅱ）令
??????????? （7分）
??????????? （10分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（文）解：（I）因为边所在直线的方程为
…………………………………（1分）
…………………………（4分）
（Ⅱ）由??????????????????????????? （5分）
????????????????????????????????????????????????? （6分）
???????????????????????????? （8分）
（Ⅲ）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以，
即
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支。
因为实半轴长半焦距
所以虚半轴长
从而动圆的圆心的轨迹方程为????????????????????????? （12分）
21．（理）
解法一：（I）如图,设把代入得
，由韦达定理得???????????????????????? （2分）
点的坐标为???????????????????????????????? （3分）
设抛物线在点处的切线的方程为
将代入上式得
（Ⅱ）
由（I）知
???????????????????? （9分）
??????????????????? （11分）
?????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
解法二：（I）设
??????????????????????? （2分）
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （4分）
????????????????????? （6分）
（Ⅱ）
由（I）知
则
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （10分）
??????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（文）解：（I）
?????????????????????????????????????????????????????????? （3分）
由于，故当时达到其最小值，即
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （6分）
（Ⅱ）
列表如下：
+
0
-
0
+
极大值
极小值
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （10分）
由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，
极小值为极大值为?????????????????????????????????????????????? （12分）
22． 解：
（I）????????????????????????????????????????????????? （2分）
（Ⅱ）由（I）知
……
???????????????????????????????????????????? （5分）
????????????????????????????????????????????????????????? （8分）
（文）（Ⅲ）
???????????????????????????????????????????????????????? （12分）
（理）（Ⅲ）
?????????????????????????????????? （12分）
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