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（本小题满分12分）

在正三棱柱中，，且是的中点，点在上.
（Ⅰ）试确定点的位置，使；
（Ⅱ）当时，求二面角的大小.

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（本小题满分12分）
在正三棱柱中，底面边长和侧棱都是2，D是侧棱上任意一点．E是的中点．

（1）求证：      平面ABD；
（2）求证：         ；
（3）求三棱锥的体积。

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一、

1．D      2．C       3．B       4．D      5．C       6．A      7．D      8．B       9．C       10．C

11．D     12．A

【解析】

5．解：，则．

6．解：线性规划问题可先作出可行域（略），设，则，可知在点（1，1）处取最小值，．

7．解：，由条件知曲线在点（0，1）处的切线斜率为，则．

8．解：如图

正四棱锥中，取中点，连接、，易知就是侧面与底面所成角，面，则．

9．解：，展开式中含的项是，其系数是．

10．解：，其值域是．

11．解：，设离心率为，则，由知．

12．解：如图

       书馆

正四面体中，是中心，连，此四面体内切球与外接球具有共同球心，必在上，并且等于内切球半径，等于外接球半径．记面积为，则，从而

．

二、填空题

13．．

解：，与共线．

14．120种．

       解：按要求分类相加，共有种，或使用间接法：种．

15．．

       解：曲线 ①，化作标准形式为，表示椭圆，由于对称性，取焦点，过且倾角是135°的弦所在直线方程为：，即 ②，联立式①与式②消去得：

，由弦长公式得：．

16．充要条件①：底面是正三角形，顶点在底面的射影恰是底面的中心．

充要条件②：底面是正三角形，且三条侧棱长相等，

再如：底面是正三角形，且三个侧面与底面所成角相等；底面是正三角形，且三条侧棱与底面所成角相等；三条侧棱长相等，且三个侧面与底面所成角相等；三个侧面与底面所成角相等，三个侧面两两所成二面角相等．

三、解答题

17．解：设等差数列的公差为、、成等比数列，即，

，得或．

       时是常数列，，前项和

       时，的前项和

       或．

18．解：，则，，．

由正弦定理得：

       ，

       ，则

       ．

19．解：已知甲击中9环、10环的概率分别是0．3、0．2，则甲击中8环及其以下环数的概率是0．5；乙击中9环、10环的概率分别为0．4、0．3，则乙击中8环及其以下环数的概率是0．3；丙击中9环、10环的概率是0．6、0．4，0．6+0．4=1，则丙击中8环及其以下环数是不可能事件．

       （1）记在一轮比赛中“丙击中的环数不超过甲击中的环数”为事件，包括“丙击中9环且甲击中9或10环”、“丙击中10环且甲击中10环”两个互斥事件，则

       ．

       （2）记在一轮比赛中，“甲击中的环数超过丙击中的环数”为事件，“乙击中的环数超过丙击中的环数”为事件，则与相互独立，且，．

       所以在一轮比赛中，甲、乙击中的环数都没有超过丙击中的环数的概率为：

       ．

20．（1）证：已知是正三棱柱，取中点，中点，连，，则、、两两垂直，以、、为、、轴建立空间直角坐标系，又已知，

则．

，，则，又因与相交，故面．

（2）解：由（1）知，是面的一个法向量．

，设是面的一个法向量，则①，②，取，联立式①与式②解得，则．

              二面角是锐二面角，记其大小为．则

              ，

二面角的大小，亦可用传统方法解决（略）．

21．解：．

       （1）在处取得极值，则．

       （2），

              恒成立，必有解．

              易知函数图象（抛物线）对称轴方程是．

              在上是增函数，则时恒有，进而必有（数形结合）

              或或，

              故的取值范围是：．

22．解：（1）已知，求得线段的两个三等分点、，直线过时，，直线过时，，故或．

（2）已知是椭圆短轴端点和焦点，易求得椭圆方程是：，所在直线的方程为．

直线与椭圆相交于、，设，，由直线与线段相交（交点不与、重合）知．

点在椭圆上，则，解得到直线的距离

，

点到直线的距离；

设，则，由知，则：

，

当即时，取到最大值．

，0与中，0距更远，当且时，

，

．

∴四边形的面积，当时，．