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    如图1.矩形CDEF中DF＝2CD＝2.将平面ABCD沿着中线AB折成一个直二面角.点M在AC上移动.点N在BF上移动.若CM＝BN＝a.(1)求MN的长,(2)当a为何值时.MN的长最小,(3)当MN长最小时.求面MNA与面MNB所成的钝二面角α的余弦值. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）如图，平面平面，四边形为矩形，△为等边三角形．为的中点，．

    （1）求证：；

    （2）求二面角的正切值．

     

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    （本小题满分14分）如图，已知矩形中，，，将矩形沿对角线把△折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上．

    （1）求证：；

    （2）求证：平面平面；

    （3）求三棱锥的体积．

     

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    （本小题满分14分）如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，，分别是，的中点．若，。

    （1）求证：平面；

    （2）求直线平面所成角的正弦值。

     

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    （本小题满分14分）如图几何体，是矩形，，，

    为上的点，且．

    （1）求证：；

    （2）求证：．

     

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    （本小题满分14分）

    如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

    （1）求证：AE⊥平面BCE；

    （2）求证：AE∥平面BFD.

     

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    一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    选项

    C

    A

    C

    B

    D

    B

    B

    A

    二、填空题（共7小题，计30分。其中第9、10、11、12小题必做；第13、14、15题选做两题，若3题全做，按前两题得分计算。）

    9、 4       10、__10__（用数字作答）．11、__＿＿。12、___0___。

    13、      ；14、___8_____．15、   3   。

     

    三、解答题（考生若有不同解法，请酌情给分！）

    16.解：（1）…………2分

    ……………………………………3分

    ………………………………………………5分

    （2）…………………………7分

    …………………………………9分

    ………………………………………10分

    故

    ∴当………………………………12分

     

    17．解：⑴、记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．……………………4分

    ⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，

    那么，…………………………………………………………6分

    所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．………8分

    ⑶、随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则

    ．所以，

    的分布列是：…………………………………………………………………… 10分

    1

    2

        ∴…………………………………………………………12分

     

    18．

    解：设2008年末汽车保有量为a1万辆，以后各年末汽车保有量依次为a2万辆，a3万辆，…，每年新增汽车x万辆。………………………………………………………………1分

    a1＝30，a2＝a1×0.94＋x，a3＝a2×0.94＋x＝a1×0.942＋x×0.94＋x，…

    故an＝a1×0.94n-1＋x（1＋0．94＋…＋0．94n-2）

    ．………………………………………………6分

    (1):当x=3万辆时，an≤30

    　则每年新增汽车数量控制在3万辆时，汽车保有量能达到要求。……………9分

    　 (2):如果要求汽车保有量不超过60万辆，即an≤60（n＝1，2，3，…）

    则，

    即．

    对于任意正整数n，

    因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，x≤3．6（万辆）．………………13分

    答：若每年新增汽车数量控制在3万辆时，汽车保有量能达到要求；每年新增汽车不应超过3．6万辆，则汽车保有量定能达到要求。………………………………………14分

     

    19．解：（1）…………………………………………………………2分

    由己知有实数解，∴，故…………………5分

    （2）由题意是方程的一个根，设另一根为

    则，∴……………………………………………………7分

    ∴，

    当时，；当时，；

    当时，

    ∴当时，有极大值，又，，

    即当时，的量大值为  ………………………10分

    ∵对时，恒成立，∴，

    ∴或………………………………………………………………13分

    故的取值范围是  ………………………………………14分

    20．解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，

    ∴MN=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

    ∴AC=BF=，  .

    即CP=BQ=.

    ∴MN=PQ=

    （0＜a＜）.…………………………………5分

    （2）由（Ⅰ），MN=，所以，当a=时，MN=.

    即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.………8分

    （3）取MN的中点G，连结AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点

    ∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，………………………11分

    又AG=BG=，所以，由余弦定理有cosα=.

    故所求二面角的余弦值为－.………………………………………………………14分

    （注：本题也可用空间向量，解答过程略）

    21．解：⑴、对任意的正数均有且．

    又

    ，…………………………………………………4分

    又是定义在上的单增函数，．

    当时，，．，．

    当时，，

    ．，

    为等差数列，，． ……………………………6分

    ⑵、假设存在满足条件，即

    对一切恒成立．

    令，

    ，………………………10分

    故，………………………12分

    ，单调递增，，．

    ．……………………………………………………………14分

     

    （考生若有不同解法，请酌情给分！）

     

     

     

     

     


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