小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：

小明选择了模型y=x

1

2

，他的同学却认为模型y=

2x

3

更合适．
（1）你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由；
（2）试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？
（参考数据lg2=0.3010，lg3=0.4771）

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为了迎接2009年10月1日建国60周年，某城市为举办的大型庆典活动准备了四种保证安全的方案，列表如下：

其中安全系数表示实施此方案能保证安全的系数，每种方案相互独立，每种方案既可独立用，又可以与其它方案合用，合用时，至少有一种方案就能保证整个活动的安全．
（1）若总经费在1200万元内（含1200万元），如何组合实施方案可以使安全系数最高？
（2）要保证安全系数不小于0.99，至少需要多少经费？

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说明：

    一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

    二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.

1. B   2. C    3. B   4.C   5.D    6.A   7. B   8. A    9. C   10. C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分20分.

11. 1       12.      13. 2       14.         15. ①③

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 本题主要考查三角函数的倍角公式、两角和公式等基本知识，考查学生的运算求解能

力. 满分13分.

解：（Ⅰ）因为，

         两边同时平方得

     .                      ………………………………………（4分）

     又，

     所以.              ………………………………………（6分）

       （Ⅱ）因为，，

             所以，得.

             又,知.             …………………（9分）

                  .              ………………………………………（13分）

17. 本题主要考查线线位置关系，二面角的求法等基本知识，考查空间想像能力，运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.

解：（Ⅰ）证明：连结，

侧棱底面ABC，

，又.

平面.

又平面，

 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………（3分）

，

四边形为正方形，

.

， 平面 .

又平面，. 　　　　　　　　…………（6分）

（Ⅱ）.

平面.

又， .

如图，以为原点，建立空间直角坐标系-xyz，设AP=x，则

                、、、.

        　　    知面的一个法向量为，　　　　　      ……（9分）

设面的一个法向量为，

        　　     ， .

        　　   由   得

        　　   令， 　          ………（11分）

               依题意：=

               解得（不合题意，舍去），

    　         时，二面角的大小为. 　 …………（13分）

18．本题主要考查数列与不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力，

考查应用意识. 满分13分.

    解：设第一年（今年）的汽车总量为，第n年的汽车总量为，则

，

…

.

数列构成的首项为80000，公差为2000的等差数列，

        .　　 ………………………（4分）

若洗车行A从今年开始经过n年可以收回购买净化设备的成本. 则（）-20000n≥900000，………………………（8分）

        整理得，

        因为，所以　.

答：至少要经过6年才能收回成本.　…………………………………………（13分）

19．本题主要考查直线与抛物线的位置关系、等比数列求和等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力. 满分13分

解：（Ⅰ）依题意得：，解得.

所以抛物线方程为 . ………………………………………………（3分）

（Ⅱ）若，即直线AB垂直于x轴，不防设，

             由又由抛物线对称性可得：.

　　 又，得  ，故S_△ABD=.　　 …………………………（4分）

若，设直线AB方程：，

由方程组消去得：.（※）

依题意可知：.

由已知得，.  ……………………………………（5分）

由，得，

即，整理得.

所以 . 　　　 …………………………………………（6分）

中点，

所以点，

依题意知.　　

又因为方程（※）中判别式，得.

所以 ，又，

所以. 

又为常数，故的面积为定值.  …………………………………（9分）

（Ⅲ）依题意得：…，. 

故…

 ＜.  　　　　　………………………………（13分）

　　注：本题第（Ⅱ）问另解，参照本标准给分；第（Ⅲ）问若用定积分证明，同样给分.

20. 本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数

性质的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.

解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为.

当时， ，.

令，解得.

当时，；当时， .

又，

所以的极小值为，无极大值 . …………………………（3分）

（Ⅱ）

 . 　

令，解得.　　　　　…………………………（4分）

若，令，得；令，得 . 

若，

①当时，，

令，得或；

令，得.

②当时，.

③当时，得，

令，得或；

令，得.

综上所述，当时，的递减区间为，递增区间为.　

当时，的递减区间为；递增区间为.

当时，递减区间为.当时，的递减区间为，递增区间为.　 …………………………（9分）

（Ⅲ）当时，，

由，知时， . ， .

依题意得： 对一切正整数成立. 　……………（11分）

令 ，则（当且仅当时取等号）.

又在区间单调递增，得，

故，又为正整数，得，

当时，存在，，

对所有满足条件.

所以，正整数的最大值为32. 　　　　…………………………………（14分）

21. （1）本题主要考查矩阵乘法与变换等基本知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思

         想. 满分7分.

         解：PQ＝，

             PQ矩阵表示的变换T：满足条件

            .

　　        所以　　　　　　　　　　　　　　　………………………（3分）

　　         直线任取点，则点在直线上，

　　         故，又，得

　　         所以　　　　           ………………………………………（7分）

（2）本题主要考查直线极坐标方程和椭圆参数方程等基本知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想. 满分7分.

        解：由题意知直线和椭圆方程可化为：

            ，               ①

            ．                ②　　　　　  …………………………（２分）

①②联立，消去得：，解得，．

设直线与椭圆交于A、B两点，则

　        ．

故所求的弦长为．　　　　      &n