一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．
（1）判断与操作：
如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
（2）探究与计算：
已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
（3）归纳与拓展：
已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：c（直接写出结果）．

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以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0，1]对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀的拉成一个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标

1

4

，

3

4

变成

1

2

，原来的坐标

1

2

变成1，等等）．则区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是

1

4

，

3

4

，那么在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到与1重合的点对应的坐标是（　　）

A、 k 2n (k为[1，2n]中所有奇数）

B、 2k+1 2n (k∈N*，且k≤n)

C、 k 2n-1 (k为[1，2n-1]中所有奇数）

D、 2k-1 2n (k∈N*，且k≤n)

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以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0，4]对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭区间[0，4]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为

 

．

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（2013•延庆县一模）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0，4]对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭区间[0，4]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为f（n），则f（3）=

1

2

，

3

2

，

5

2

，

7

2

1

2

，

3

2

，

5

2

，

7

2

；f（n）=

j

2n-2

（这里j为[1，2ⁿ]中的所有奇数）

j

2n-2

（这里j为[1，2ⁿ]中的所有奇数）

．

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说明：

    一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

    二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.

1. B   2. C    3. B   4.C   5.D    6.A   7. B   8. A    9. C   10. C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分20分.

11. 1       12.      13. 2       14.         15. ①③

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 本题主要考查三角函数的倍角公式、两角和公式等基本知识，考查学生的运算求解能

力. 满分13分.

解：（Ⅰ）因为，

         两边同时平方得

     .                      ………………………………………（4分）

     又，

     所以.              ………………………………………（6分）

       （Ⅱ）因为，，

             所以，得.

             又,知.             …………………（9分）

                  .              ………………………………………（13分）

17. 本题主要考查线线位置关系，二面角的求法等基本知识，考查空间想像能力，运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.

解：（Ⅰ）证明：连结，

侧棱底面ABC，

，又.

平面.

又平面，

 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………（3分）

，

四边形为正方形，

.

， 平面 .

又平面，. 　　　　　　　　…………（6分）

（Ⅱ）.

平面.

又， .

如图，以为原点，建立空间直角坐标系-xyz，设AP=x，则

                、、、.

        　　    知面的一个法向量为，　　　　　      ……（9分）

设面的一个法向量为，

        　　     ， .

        　　   由   得

        　　   令， 　          ………（11分）

               依题意：=

               解得（不合题意，舍去），

    　         时，二面角的大小为. 　 …………（13分）

18．本题主要考查数列与不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题与解决问题的能力，

考查应用意识. 满分13分.

    解：设第一年（今年）的汽车总量为，第n年的汽车总量为，则

，

…

.

数列构成的首项为80000，公差为2000的等差数列，

        .　　 ………………………（4分）

若洗车行A从今年开始经过n年可以收回购买净化设备的成本. 则（）-20000n≥900000，………………………（8分）

        整理得，

        因为，所以　.

答：至少要经过6年才能收回成本.　…………………………………………（13分）

19．本题主要考查直线与抛物线的位置关系、等比数列求和等基本知识，考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力. 满分13分

解：（Ⅰ）依题意得：，解得.

所以抛物线方程为 . ………………………………………………（3分）

（Ⅱ）若，即直线AB垂直于x轴，不防设，

             由又由抛物线对称性可得：.

　　 又，得  ，故S_△ABD=.　　 …………………………（4分）

若，设直线AB方程：，

由方程组消去得：.（※）

依题意可知：.

由已知得，.  ……………………………………（5分）

由，得，

即，整理得.

所以 . 　　　 …………………………………………（6分）

中点，

所以点，

依题意知.　　

又因为方程（※）中判别式，得.

所以 ，又，

所以. 

又为常数，故的面积为定值.  …………………………………（9分）

（Ⅲ）依题意得：…，. 

故…

 ＜.  　　　　　………………………………（13分）

　　注：本题第（Ⅱ）问另解，参照本标准给分；第（Ⅲ）问若用定积分证明，同样给分.

20. 本题主要考查函数的单调性、极值、最值、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数

性质的方法，考查分类与整合及化归与转化等数学思想. 满分14分.

解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为.

当时， ，.

令，解得.

当时，；当时， .

又，

所以的极小值为，无极大值 . …………………………（3分）

（Ⅱ）

 . 　

令，解得.　　　　　…………………………（4分）

若，令，得；令，得 . 

若，

①当时，，

令，得或；

令，得.

②当时，.

③当时，得，

令，得或；

令，得.

综上所述，当时，的递减区间为，递增区间为.　

当时，的递减区间为；递增区间为.

当时，递减区间为.当时，的递减区间为，递增区间为.　 …………………………（9分）

（Ⅲ）当时，，

由，知时， . ， .

依题意得： 对一切正整数成立. 　……………（11分）

令 ，则（当且仅当时取等号）.

又在区间单调递增，得，

故，又为正整数，得，

当时，存在，，

对所有满足条件.

所以，正整数的最大值为32. 　　　　…………………………………（14分）

21. （1）本题主要考查矩阵乘法与变换等基本知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思

         想. 满分7分.

         解：PQ＝，

             PQ矩阵表示的变换T：满足条件

            .

　　        所以　　　　　　　　　　　　　　　………………………（3分）

　　         直线任取点，则点在直线上，

　　         故，又，得

　　         所以　　　　           ………………………………………（7分）

（2）本题主要考查直线极坐标方程和椭圆参数方程等基本知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想. 满分7分.

        解：由题意知直线和椭圆方程可化为：

            ，               ①

            ．                ②　　　　　  …………………………（２分）

①②联立，消去得：，解得，．

设直线与椭圆交于A、B两点，则

　        ．

故所求的弦长为．　　　　      &n