题目列表(包括答案和解析)
．（本小题满分13分）
在数列
中，
，
，
．
（1）证明数列
是等比数列；
（2）设数列的前
项和
，求
的最大值．
（本小题满分13分）
已知
为锐角，且
，函数
，数列{
}的首项
.
（1） 求函数
的表达式；
（2）在
中，若
A=2,
,BC=2,求的面积
（3） 求数列
的前
项和
（本小题满分13分）
已知三棱锥
，
平面
，
，
，
.
（Ⅰ）把△
（及其内部）绕
所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
（本小题满分13分）
设数列
的前
项和为
，点
在直线
上，（
为常数，
，
）.
（1）求
；
（2）若数列的公比
，数列
满足
，
，
，求证：
为等差数列，并求
；
（3）设数列
满足
，
为数列的前项和，且存在实数
满足
，求的最大值.
（本小题满分13分）
等比数列{
}的前
项和为
，已知5
、2
、
成等差数列．
（Ⅰ）求{}的公比
；
（Ⅱ）当
-
=3且
时，求．
一、ABCBD BCABD
二、11.2 12. 
13.4 14.10 15. ①②③
三、16. 解：（1）
，
3分
由已知
，得
．
6分
（2）由（1）得
，
8分
当
时，
的最小值为
，
10分
由，得
值的集合为
． 13分
17. 解：（I）取AB的中点O，连接OP，OC 
PA=PB PO
AB
又在
中，
，
在
中，
，又
，故有
又
， 
面ABC 4分
又 PO
面PAB，面PAB面ABC
6分
（Ⅱ）以O为坐标原点，
分别以OB，OC，OP为轴，
轴，
轴建立坐标系，
如图，则A
8分
设平面PAC的一个法向量为
。
得
令
，则
11分
设直线PB与平面PAC所成角为
，
于是
13分
18. 解：（1）
；
4分
（2）消费总额为1500元的概率是：
5分
消费总额为1400元的概率是：
6分
消费总额为1300元的概率是：
＝
，
所以消费总额大于或等于1300元的概率是
；
8分
（3）
，
，
＝
。所以
的分布列为：
0
1
2
3
0.294
0.448
0.222
0.036
数学期望是：
。 13分
19. 解：∵
的右焦点
∴椭圆的半焦距
，又
，
∴椭圆的
， 
.椭圆方程为
.
（Ⅰ）当
时，故椭圆方程为
， 3分
（Ⅱ）依题意设直线
的方程为：
，
联立
得点
的坐标为
. 4分
将代入
得
.
设
、
，由韦达定理得
，
. 5分
又
，
.
7分
有实根， ∴点可以在圆上. 8分
（Ⅲ）假设存在满足条件的实数
，
由
解得：
. 10分
∴
，
，又
.即
的边长分别是
、
、
.
时，能使的边长是连续的自然数。 1
3分
20. 解：（1）
．
1分
当
时，
，在
上单调递增；
2分
当
，
时，
，在
上单调递减；
时，，在
上单调递增．
3分
综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
4分
（2）充分性：
时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值，
即
。而在
上单调递减，在
上单调递增，
所以在上有唯一的一个零点x=1． 6分
必要性：若函数f(x)存在唯一零点，即方程=0在上有唯一解，
因, 由（1）知，在
处有极小值也是最小值f(a)，
f(a)=0,即
．
7分
令
， 
．
当
时，
，
在上单调递增；当
时，
，
在上单调递减。
，=0只有唯一解．
因此=0在上有唯一解时必有．
综上：在时， =0在上有唯一解的充要条件是． 9分
（3）证明：∵1<x<2, ∴
.
令
，∴
，11分
由（1）知，当时，，∴
，
∴
．∴
，
12分
∴F（x）在（1，2）上单调递增，∴
，
∴
。∴
．
14分
21. （Ⅰ）解：考虑在矩阵
作用下，求出变换后的三角形的顶点坐标，从而求得三角形的面积，可先求得
，由
＝，得点
在矩阵
作用下变换所得到的点
，同理求得
在矩阵作用下变换所得到的点分别是
，
，计算得△
的面积为3．
7分
（Ⅱ）解：直线
的极坐标方程
，则
，
即
，所以直线的直角坐标方程为
； 2分
设
，其中
，则P到直线的距离
，其中
，∴ 当
时，
的最大值为
；当
时，的最小值为
。
7分
（Ⅲ）解：由柯西不等式，得
， 2分
即
．由条件，得
．解得
， 2分
当且仅当
时等号成立．代入
时，
；
时，
．所以，
的取值范围是
．
7分
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