（本题满分14分）

已知实数，曲线与直线的交点为(异于原点)，在曲线 上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，，…,,… .  设点的坐标为，.

（Ⅰ）试用表示，并证明；   

（Ⅱ）试证明，且（）；

（Ⅲ）当时，求证：  （）.

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（本题满分14分）

已知曲线方程为，过原点O作曲线的切线

（1）求的方程；

（2）求曲线，及轴围成的图形面积S；

（3）试比较与的大小，并说明理由。

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一．选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

C

B

B

A

B

D

二．填空题：

9．6、30、10；              10．；            11．；

12．；                  13．{0<≤3}；                      14．③④

三、 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．解： ；  ………5分

方程有非正实数根

综上： ……………………12分

16. 解：（Ⅰ）设取出的4件中有2件合格品或3件合格品分别为事件A、B，则

         ∵A、B为两个互斥事件      ∴P（A+B）=P（A）+P（B）=

        答： 取出2件合格品或3件合格品的概率为…………6分

   （Ⅱ）取出4件都为合格品的事件为C，则P（C）=

至少取出一件次品的事件为事件C的对立事件,其概率为

     答：至少取出一件次品的概率为.…………13分

17．解：（1）f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c，f¢（x）＝3x²＋2ax＋b

由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得

a＝，b＝－2。。。。。。。。。4分

f¢（x）＝3²－－2＝（3＋2）（－1），函数f（x）的单调区间如下表：

（－¥，－）

－

（－，1）

1

（1，＋¥）

f¢（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

­

极大值

¯

极小值

­

所以函数f（）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥）

递减区间是（－，1）。。。。。。。。。。。7分

（2）f（x）＝³－²－2＋c，Î，由（1）当＝－时，f（x）＝＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）<c²（Î）恒成立，只需c²>f（2）＝2＋c

解得c<－1或c>2 。。。。。。。。。。。。13分

18．（Ⅰ）证明：∵底面，底面，∴

又∵且平面， 平面， ，

∴平面；4分

　（Ⅱ）解：∵点分别是的中点，

∴，由（Ⅰ）知平面，∴平面，

　∴，，

　∴为二面角的平面角，7分

　∵底面，

　∴与底面所成的角即为，

　∴＝，

　∵为直角三角形斜边的中点，

　∴为等腰三角形，且，

　∴，∴二面角的大小为；9分

（Ⅲ）法１：过点作交于点，则或其补角即为异面直

　　　线所成的角，11分

∵为的中点,∴为为的中点, 设，则由得，又，∴　∴＝，∴，

∴由（Ⅱ）知为直角三角形，且    ，

，∴，

在直角三角形中，，

∴，

∴在三角形中，，13分

∴为直角三角形，为直角，

∴异面直线所成的角为．14分

或者用三垂线定理，首先证明DB与BC垂直也可以

因为　∴＝，又，

所以，即DB与BC垂直

法２：以点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设，则，，，则

则，，，

，∴异面直线所成的角为……………． 14分

19．解：1）由＝.＝，∴＝1；……….4分

（2）＝在（1，＋∞）上是单调递减函数，

任取、∈（1，＋∞），且设＜，则：

－＝＞0，

∴＝在（1，＋∞）上是单调递减函数；……………9分

（3）当直线＝（∈R）与的图象无公共点时，＝1，

∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

得：＞或＜…………..14分

20．解

（1）当时，     

    设为其不动点，即

则    的不动点是－1，2……….. 4分

（2）由得：.  由已知，此方程有相异二实根，

恒成立，即即对任意恒成立.

…………………. …………10分

（3）设，

直线是线段AB的垂直平分线，   ∴

记AB的中点由（2）知   

化简得：时，等号成立）.

……………………………………………………………14分