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    (1)证明:定义在R上的二次函数是凸函数, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值、总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的凸函数 .

    （1）证明：定义在R上的二次函数是凸函数；

    （2）设，并且时，恒成立，求实数的取值范围，并判断函数能否成为上的凸函数；

    （3）定义在整数集Z上的函数满足：①对任意的，；②，. 试求的解析式；并判断所求的函数是不是R上的凸函数说明理由.

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    若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x1，x2都有不等式数学公式成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
    （I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函数；
    （II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
    （III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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    若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x1，x2都有不等式
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]≤f(
    x1+x2
    2
    )    成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
    （I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函数；
    （II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
    （III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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    若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x1，x2都有不等式
    1
    2
    [f(x1)+f(x2)]≤f(
    x1+x2
    2
    )    成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
    （I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函数；
    （II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
    （III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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    若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式≤f（）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的凸函数．
    （1）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函数；
    （2）设f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围，并判断函数
    f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）能否成为R上的凸函数；
    （3）定义在整数集Z上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
    试求f（x）的解析式；并判断所求的函数f（x）是不是R上的凸函数说明理由．

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    一．选择题：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    答案

    C

    A

    C

    B

    B

    A

    B

    D

    二．填空题：

    9．6、30、10；                 10．?5；               11．；

    12．?250；                     13．；              14．③④

    三．解答题：

    15．解： ；  ………5分

    方程有非正实数根

     

    综上： ……………………12分16．解:(I)设袋中原有个白球,由题意知

    可得或(舍去)

    答：袋中原有3个白球. 。。。。。。。。4分

    (II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5

     

    所以的分布列为:

    1

    2

    3

    4

    5

    。。。。。。。。。9分

    (III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则

    答：甲取到白球的概率为.。。。。。。。。13分

    17．解：（1）由＝.＝，∴＝1；。。。。。。。。。4分

    （2）任取、∈（1，＋∞），且设＜，则：

    －＝＞0，

    ∴＝在（1，＋∞）上是单调递减函数；。。。。。。。。。8分

    （3）当直线＝（∈R）与的图象无公共点时，＝1，

    ∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

    得：＞或＜．。。。。。。。。13分

    18．（Ⅰ）证明：∵底面，底面，　∴

    　　　又∵且平面，平面，，

    　　　　∴平面；３分

    （Ⅱ）解：∵点分别是的中点，

    ∴，由（Ⅰ）知平面，

    ∴平面，

    ∴，，

    ∴为二面角的平面角，

    ∵底面，∴与底面所成的角即为，

    ∴＝，∵为直角三角形斜边的中点，

    ∴为等腰三角形，且，∴；

    （Ⅲ）过点作交于点，∵底面,

    　　　∴底面,为直线在底面上的射影，

    　　　要，由三垂线定理的逆定理有要 ，

    　设，则由得，

    　又∴在直角三角形中，，

    ∴，

    ∵　∴，，

    在直角三角形中，，

    　，即时，．

    （Ⅲ）以点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设，则，，设，则

    则，，,

    ，时时，.

     

     

    19  证明：（1）对任意x1, x2∈R, 当 a0,

    有 =                         =……（3分）

    ∴当时，，即

      当时，函数f(x)是凸函数.   ……（4分）

     （2） 当x=0时, 对于a∈R，有f(x)≤1恒成立；当x∈(0, 1]时, 要f(x)≤1恒成立

    即， ∴ 恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ ≥1, 当=1时, 取到最小值为0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范围是.

    由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f(x)是凸函数………10分

    （3）令则，∵，∴，……………..(11)分

    令，则，故；

    若，则

    ；，……………..(12)分

    若，则 ∴；∴时，.

    综上所述，对任意的，都有；……………..(13)分

    所以，不是R上的凸函数. ……………..(14)分

    对任意，有，

    所以，不是上的凸函数. ……………..(14)分

    20. 解：（1）设数列的前项和为，则

    ……….4分

    （2）为偶数时，

    为奇数时，

    ………9分

    （3）方法1、因为所以

    当，时，，时

    又由，两式相减得

     所以若，则有………..14分

    方法2、由，两式相减得

    ………..11分

    所以要证明，只要证明

    或①由：

    所以…………………14分

    或②由：

    …………………14分

    数学归纳法：①当

    当

    ②当

    当

    综上①②知若，则有.

    所以，若，则有.。。。。。。。。。14分

     

     


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