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（2012•朝阳区一模）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．
（Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；

区间	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）	[95，100]
人数	50	a	350	300	b

（Ⅱ）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．

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（2013•肇庆一模）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x•46%=230人，回答问题统计结果如图表所示．

组号	分组	回答正确 的人数	回答正确的人数 占本组的概率
第1组	[15，25）	5	0.5
第2组	[25，35）	a	0.9
第3组	[35，45）	27	x
第4组	[45，55）	B	0.36
第5组	[55，65）	3	y

（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．

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（2012•朝阳区一模）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；

区间	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50]
人数	50	50	a	150	b

（Ⅱ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．

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一．选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

C

B

B

A

B

D

二．填空题：

9．6、30、10；                 10．?5；               11．；

12．?250；                     13．；              14．③④

三．解答题：

15．解： ；  ………5分

方程有非正实数根

综上： ……………………12分16．解:(I)设袋中原有个白球,由题意知

可得或(舍去)

答：袋中原有3个白球. 。。。。。。。。4分

(II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5

所以的分布列为:

1

2

3

4

5

。。。。。。。。。9分

(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则

答：甲取到白球的概率为.。。。。。。。。13分

17．解：（1）由＝.＝，∴＝1；。。。。。。。。。4分

（2）任取、∈（1，＋∞），且设＜，则：

－＝＞0，

∴＝在（1，＋∞）上是单调递减函数；。。。。。。。。。8分

（3）当直线＝（∈R）与的图象无公共点时，＝1，

∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

得：＞或＜．。。。。。。。。13分

18．（Ⅰ）证明：∵底面，底面，　∴

　　　又∵且平面，平面，，

　　　　∴平面；３分

（Ⅱ）解：∵点分别是的中点，

∴，由（Ⅰ）知平面，

∴平面，

∴，，

∴为二面角的平面角，

∵底面，∴与底面所成的角即为，

∴＝，∵为直角三角形斜边的中点，

∴为等腰三角形，且，∴；

（Ⅲ）过点作交于点，∵底面,

　　　∴底面,为直线在底面上的射影，

　　　要，由三垂线定理的逆定理有要 ，

　设，则由得，

　又∴在直角三角形中，，

∴，

∵　∴，，

在直角三角形中，，

　，即时，．

（Ⅲ）以点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设，则，，设，则

则，，,

，时时，.

19  证明：（1）对任意x₁, x₂∈R, 当 a0,

有 =                         =……（3分）

∴当时，，即

  当时，函数f(x)是凸函数.   ……（4分）

 （2） 当x=0时, 对于a∈R，有f(x)≤1恒成立；当x∈(0, 1]时, 要f(x)≤1恒成立

即， ∴ 恒成立，∵ x∈(0, 1], ∴ ≥1, 当=1时, 取到最小值为0，∴ a≤0, 又a≠0,∴ a的取值范围是.

由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f(x)是凸函数………10分

（3）令则，∵，∴，……………..(11)分

令，则，故；

若，则

；，……………..(12)分

若，则 ∴；∴时，.

综上所述，对任意的，都有；……………..(13)分

所以，不是R上的凸函数. ……………..(14)分

对任意，有，

所以，不是上的凸函数. ……………..(14)分

20. 解：（1）设数列的前项和为，则

……….4分

（2）为偶数时，

为奇数时，

………9分

（3）方法1、因为所以

当，时，，时

又由，两式相减得

 所以若，则有………..14分

方法2、由，两式相减得

………..11分

所以要证明，只要证明

或①由：

所以…………………14分

或②由：

…………………14分

数学归纳法：①当

当

②当

当

综上①②知若，则有.

所以，若，则有.。。。。。。。。。14分