（2013•虹口区二模）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x₁、x₂都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．
（1）判断函数f（x）=lgx在R⁺上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数f(x)=x2+

a

x

在

1，2

上是“凸函数”，求实数a的取值范围；
（3）对于区间

c，d

上的“凸函数”f（x），在

c，d

上任取x₁，x₂，x₃，…，x_n．
①证明：当n=2^k（k∈N^*）时，f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]成立；
②请再选一个与①不同的且大于1的整数n，
证明：f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]也成立．

设数列{a_n}满足：当 n=2k-1（k∈N^*）时，a_n=n；当n=2k（k∈N^*）时，a_n=a_k；记sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n
（1）求s₃；
（2）证明：s_n=4^n-1+s_n-1（n≥2）
（3）证明：

1

s1

+

1

s2

+

1

s3

+…+

1

sn

＜1-

1

4n

．

用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xⁿ+yⁿ能被x+y整除，第二步的假设应写成．

数列{a_n}满足a_n=

n，当n=2k-1 ak，当n=2k

（k∈N^*）．设f（n）=a₁+a₂+a₃+…+a2n-1+a 2n，则f（5）-f（4）=．