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（本小题满分12分）已知等比数列{a_n}中， 

   （Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；

   （Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明:；

   （Ⅲ）设，证明：对任意的正整数n、m，均有

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（本小题满分12分）已知函数，其中a为常数.

   （Ⅰ）若当恒成立，求a的取值范围；

   （Ⅱ）求的单调区间.

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一、

1．C      2．A      3．D      4．C      5．A      6．B       7．A      8．C      9．D      10．C

11．D    12．B

1～5略

6．或．

7．解：

       ．

其展开式中含的项是：，系数等于．

8．解：根据题意：．

9．解：，椭圆离心率为，，．

10．解：依腰意作出图形．取中点，连接、，则，不妨设四面体棱长为2，则是等腰三角形，必是锐角，就是与所成的角，．

11．解：已知两腰所在直线斜率为1，，设底边所在直线斜率为，已知底角相等，由到角公式得：

       ，解得或．

       由于等腰三角底边过点（，0）则只能取．

12．解：如图，正四面体中，是

中心，连，此四面体内切球与外接球具有共同球心．必在上，并且等于内切球半径，等于外接球半径．记面积为，则

，从而．

二、

13．．解：，与共线．

14．．解：，曲线在（1，0）处的切线与直线垂直，则，的倾角是．

15．曲线     ①，化作标准形式为，表示椭圆，由于对称性．取焦点，过且倾角是135°的弦所在直线方程为：，即②，联立式①与式②．消去y，得：，由弦长公式得：．

16．充要条件①：底面是正三角形，顶点在底面的射影恰是底面的中心．

充要条件②：底面是正三角形．且三条侧棱长相等，

充要条件③：底面是正三角形，且三个侧面与底面所成角相等．

再如：底面是正三角形．且三条侧棱与底面所成角相等；三条侧棱长相等，且三个侧面与底面所成角相等；三个侧面与底面所成角相等，三个侧面两两所成二面角相等．

三、

17．解：，则，，．由正弦定理得

       ，

       ．

18．（1）证：已知是正三棱柱，取中点，中点，连，，则、、两两垂直，以、、为、、轴建立空间直角坐标系，又已知，

则．

，，则，又因与相交，故面．

（2）解：由（1）知，是面的一个法向量．

，设是面的一个法向量，则①，②，取，联立式①、②解得，则．

              二面角是锐二面角，记其大小为．则

              ，

二面角的大小，亦可用传统方法解（略）．

19．解：已知各投保学生是否出险相互独立，且每个投保学生在一年内出险的概率都是，记投保的5000个学生中出险的人数为，则（5000，0．004）即服从二项分布．

（1）记“保险公司在学平险险种中一年内支付赔偿金至少5000元”为事件A，则

              ，

              ．

（2）该保险公司学平险除种总收入为元=25万元，支出成本8万元，支付赔偿金5000元=0．5万元，盈利万元．

由~知，，

进而万元．

故该保险公司在学平险险种上盈利的期望是7万元．

20．解（1）：由得，即，

              ，而

由表可知，在及上分别是增函数，在及上分别是减函数．

．   

（2）时，等价于，记，

则，因，

则在上是减函数，，故．

当时，就是，显然成立，综上可得的取值范围是：

22．解：（1）由条件可知椭圆的方程是：

                ①，直线的方程是            ②，

联立式①、②消去并整理得，由此出发时，是等比数列，

．

（2）由（1）可知，．当时，

       ，

       是递减数列

       对恒成立．

       ，时，是递减数列．

21．解（1）：，由解得函数定义域呈．

              ，由解得，列表如下：

0

0

ㄊ

极大

ㄋ

ㄋ

极小

ㄊ

              解得，进而求得中点．

              己知在直线上，则．

       （2）．

设，则，点到直线的距离

．

，由于直线与线段相交于，则，则．

记，则．

其次，，同理求得到的中离：，

设，即，由得．

，

即且时，．

又，当即时，．注意到，由对称性，时仍有

故，进而．

故四边形的面积：

，

当时，．