平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具．如图，设直线l的倾斜角为α(α≠90°)．在l上任取两个不同的点，，不妨设向量的方向是向上的，那么向量的坐标是()．过原点作向量，则点P的坐标是()，而且直线OP的倾斜角也是α．根据正切函数的定义得

，

这就是《数学2》中已经得到的斜率公式．上述推导过程比《数学2》中的推导简捷．你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗？例如：

(1)过点，平行于向量的直线方程；

(2)向量(A，B)与直线的关系；

(3)设直线和的方程分别是

，

，

那么，∥，的条件各是什么？如果它们相交，如何得到它们的夹角公式？

(4)点到直线的距离公式如何推导？

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在同一平面内，边长为2的等边△ABC的两个顶点B、C分别再两条平行直线l₁，l₂上，另一个顶点A在直线l₁、l₂之间，AB与l₁的夹角为θ，0^o＜θ＜60^o．
（I）当θ=45^o时，求点A到直线l₁的距离；
（II）若点A到直线l₁、l₂的距离分别为d₁、d₂，记d₁•d₂=f（θ），求f（θ）的取值范围．

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在同一平面内，边长为2的等边△ABC的两个顶点B、C分别再两条平行直线l₁，l₂上，另一个顶点A在直线l₁、l₂之间，AB与l₁的夹角为θ，0^o＜θ＜60^o．
（I）当θ=45^o时，求点A到直线l₁的距离；
（II）若点A到直线l₁、l₂的距离分别为d₁、d₂，记d₁•d₂=f（θ），求f（θ）的取值范围．

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如图，直线AB是平面α的斜线，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得点P到直线AB的距离为定值a（a＞0），则动点P的轨迹是（　　）

A．圆

B．椭圆

C．一条直线

D．两条平行直线

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如图，直线AB是平面α的斜线，A为斜足，若点P在平面α内运动，使得点P到直线AB的距离为定值a（a＞0），则动点P的轨迹是（　　）

A．圆	B．椭圆
C．一条直线	D．两条平行直线

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1．C      2．C      3．B       4．A      5．C      6．C      7．D      8．C      9．D      10．B

1l．B      12．A

2．解析：

       ，∴选C．

3．解析：是增函数 

       故，即

       又

       ，故选B．

4．解析：如图作出可行域，作直线，平移直线至位置，使其经过点．此时目标函数取得最大值（注意与反号）

由得

       ，故选A

5．解析：设有人投中为事件，则，

       故选C．

6．解析：展开式中通项；

       由，得，故选C．

7．解析：

       由得

，故选D．

8．略

9．解析：由得准线方程，双曲线准线方程为

       ，解得，

       ，故选D．

10．解析：设正四面体的棱长为2，取中点为，连接，则为与所成的角，在中

，故选B．

11．解析：

由题意，则，故选B．

12．解析：由已知，

       为球的直么

       ，又，

       设，则

       ，

       又由，解得

       ，故选A．

另法：将四面体置于正方休中．

       正方体的对角线长为球的直径，由此得，然后可得．

二、填空题

13．3；解析：在上的投影是．

14．（0．2）；解析：由，解得．

15．

解析：，

       由余弦定理为钝角

       ，即，

       解得．

16．②③；

解析：容易知命题①是错的，命题②、③都是对的，对于命题④我们考查如图所示的正方体，政棱长为，显然与为平面内两条距离为的平行直线，它们在底面内的射影、仍为两条距离为的平行直线．但两平面与却是相交的．

三、

17．解：（1），

              ，

即，故．

       （2）

              由得．

设边上的高为。则

．

18．（1）设甲、乙两人同时参加灾区服务为事件，则．

（2）记甲、乙两人同时参加同一灾区服务为事件，那么．

19．解：

（1）平面

           ∵二面角为直二面角，且，

              平面              平面．

（2）（法一）连接交交于点，连接是边长为2的正方形，                   ，

平面，由三垂线定理逆定理得

是二面角的平面角

由（1）平面，

．

在中，

∴在中，

故二面角等于．

（2）（法二）利用向量法，如图以之中点为坐标原点建立空间坐标系，则

              ，

              设平面的法向量分别为，则由

              得，而平面的一个法向理

              故所求二面角等于．

20．解：（1）由题设，即

              易知是首项为，公差为2的等差数列，

           ∴通项公式为，

    （2）由题设，，得是以公比为的等比数列．

        由得．

21．解：（1）由题意，由抛物线定义可求得曲线的方程为．

（2）证明：设点、的坐标分别为

             若直线有斜率时，其坐标满足下列方程组：

              ，        

              若没有斜率时，方程为．

              又．

              ；又，

                          ．

22．（1）解：方程可化为．

当时，，又，于是，解得，故．

       （2）解：设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即．

              令，得，从而得切线与直线的交点坐标为

令，得，从而得切线与直线的交点坐标为．所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为．故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．