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（本小题满分12分）已知等比数列{a_n}中， 

   （Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；

   （Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明:；

   （Ⅲ）设，证明：对任意的正整数n、m，均有

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（本小题满分12分）已知函数，其中a为常数.

   （Ⅰ）若当恒成立，求a的取值范围；

   （Ⅱ）求的单调区间.

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一：选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

D

B

B

B

B

D

B

D

C

C

A

 二、填空题：

13、0

14、

15、

16、①②

三、解答题：

17、（Ⅰ）∵

∴的最大值为，最小正周期是。…………………6分 

注：得出表达式的简化形式得4分，最大值、周期各得1分。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

即成立的的取值集合是………10分

注：正确写出正弦的单调增区间2分，答案正确2分。

18、解：（Ⅰ），      

 ，

随机变量的分布列为

0

1

2

3

P

数学期望………………………………………8分

注：每个概率算对得1分，分布列2分，期望2分。

   (II)所求的概率…………12分

注：知道概率加法公式得2分，结果正确得2分。

19、(本题满分12分)

证明：（1）在直三棱柱，

∵底面三边长，，

∴ ，              --------------------------------1分

又直三棱柱中  ， 

且

∴       ---------------------------------3分

而

∴；                 ---------------------------------4分

（2）设与的交点为，连结，---------------------5分

∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，

∴ ，                    ----------------------------7分

∵ ，，

∴ .              ----------------------------8分

（3）过点C作CF⊥AB于F，连接C₁F         

由已知C_1C垂直平面ABC，则∠C₁FC为二面角的平面角 ----------9分

在Rt△ABC中，，,,则           ----------10分

又

∴                                   ----------11分

∴二面角的正切值为                              ---------- 12分

（另：可以建立空间直角坐标系用向量方法完成，酌情给分，过程略）

20、解（1）

∵在增函数，（0，2）为减函数

      ………………………………………………2分

       （2）， …………………         4分

                            5分

       ……………………7分

   （3）

       ，

       ……………………………………………………………………12分

21、 解：(1)f(x)对任意

                             2分

        令

                                       4分

   （2）解：数列{an}是等差数列    f(x)对任意x∈R都有

        则令                        5分

       ∴{a­­n}是等差数列                                              8分

   （3）解：由（2）有                         9分

∴Tn≤Sn                  该题也可用数学归纳法做。              12分

22、解：(1)∵

∴线段NP是AM的垂直平分线，                                      2分

∴                                   3分

∵                                            

∴点N的轨迹是以点C、A为焦点的椭圆；                             4分

∴点N的轨迹E的方程是                                  5分

（2）当直线的斜率不存在时，，，∴=；         6分

当直线的斜率存在时，设其方程为,

,△,              7分

设G(x_1,y₁),H(x₂,y₂)

,,∵,∴   8分

,,                             9分

,,,                  10分

 ，

∵点在点、之间  ，   ∴<1                                   11分

∴的取值范围是[）。