题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分12分)如图所示,已知圆
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足的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;(II)若过定点F(0,2)
的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),
且满足,求的取值范围.
(本小题满分12分)
如图所示,已知S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,SG为△SAB上的高,D、E、F分别是AC、BC、SC的中点,试判断SG与平面DEF的位置关系,并给予证明.
(本小题满分12分)如图所示,已知六棱锥的底面是正六边形,平面,是的中点。
(Ⅰ)求证:平面//平面;
(Ⅱ)设,当二面角的大小为时,求的值。
(本小题满分12分)如图所示,已知中,AB=2OB=4,D为AB的中点,若是绕直线AO旋转而成的,记二面角B—AO—C的大小为(I)若,求证:平面平面AOB;(II)若时,求二面角C—OD—B的余弦值的最小值。
(本小题满分12分)如图所示,已知A、B、C是椭圆上三点,其中点A的坐标为,BC过椭圆的中心O,且
(Ⅰ)求点C的坐标及椭圆E的方程;
(Ⅱ)若椭圆E上存在两点P, Q,使得的平分线总垂直于z轴,试判断向量是否共线,并给出证明.
一:选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
B
B
B
B
D
B
D
C
C
A
二、填空题:
13、0
14、
15、
16、①②
三、解答题:
17、(Ⅰ)∵
∴的最大值为,最小正周期是。…………………6分
注:得出表达式的简化形式得4分,最大值、周期各得1分。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
即成立的的取值集合是………10分
注:正确写出正弦的单调增区间2分,答案正确2分。
18、解:(Ⅰ),
,
随机变量的分布列为
0
1
2
3
P
数学期望………………………………………8分
注:每个概率算对得1分,分布列2分,期望2分。
(II)所求的概率…………12分
注:知道概率加法公式得2分,结果正确得2分。
19、(本题满分12分)
证明:(1)在直三棱柱,
∵底面三边长,,
∴ , --------------------------------1分
又直三棱柱中 ,
且
∴ ---------------------------------3分
而
∴; ---------------------------------4分
(2)设与的交点为,连结,---------------------5分
∵D是AB的中点,E是BC1的中点,
∴ , ----------------------------7分
∵ ,,
∴ . ----------------------------8分
(3)过点C作CF⊥AB于F,连接C
由已知C1C垂直平面ABC,则∠C1FC为二面角的平面角 ----------9分
在Rt△ABC中,,,,则 ----------10分
又
∴ ----------11分
∴二面角的正切值为 ---------- 12分
(另:可以建立空间直角坐标系用向量方法完成,酌情给分,过程略)
20、解(1)
∵在增函数,(0,2)为减函数
………………………………………………2分
(2), ………………… 4分
5分
……………………7分
(3)
,
……………………………………………………………………12分
21、 解:(1)f(x)对任意
2分
令
4分
(2)解:数列{an}是等差数列 f(x)对任意x∈R都有
则令 5分
∴{an}是等差数列 8分
(3)解:由(2)有 9分
∴Tn≤Sn 该题也可用数学归纳法做。 12分
22、解:(1)∵
∴线段NP是AM的垂直平分线, 2分
∴ 3分
∵
∴点N的轨迹是以点C、A为焦点的椭圆; 4分
∴点N的轨迹E的方程是 5分
(2)当直线的斜率不存在时,,,∴=; 6分
当直线的斜率存在时,设其方程为,
,△, 7分
设G(x1,y1),H(x2,y2)
,,∵,∴ 8分
,, 9分
,,, 10分
,
∵点在点、之间 , ∴<1 11分
∴的取值范围是[)。
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