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    (III)求证: 江西省九校2009届高三模拟训练题(二) 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （2012•房山区二模）数列{an}中，a1=1，前n项的和是Sn，且Sn=2an-1，n∈N*．
    （I）求出 a2，a3，a4；
    （II）求数列{an}的通项公式；
    （III）求证：SnSn+2＜
    S
    2
    n+1
    ．

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    已知抛物线的焦点F在y轴上，抛物线上一点A（a，4）到准线的距离是5，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，过M，N两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T．
    （I）求抛物线的标准方程；
    （II）求
    FT
    •
    MN
    的值；
    （III）求证：|
    FT
    |是|
    MF
    |和|
    NF
    |    的等比中项．

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    设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（1，0）的距离比点P到直线x=-2的距离小1，过点M的直线l与点P的轨迹方程交于A、B两点．
    （Ⅰ）求点P的轨迹方程；
    （Ⅱ）是否存在直线l，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
    （III）求证：S△OAB=S△OAM•|BM|．

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    设函数f(x)=
    2x
    x+1
    ，且a1=
    1
    2
    ，  an+1=f(an)    ，其中n=1，2，3，…．
    （I）计算a2，a3的值；
    （II）设a2=2，求证：数列{bn}为等比数列；
    （III）求证：
    1
    2
    ≤an＜1    ．

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    已知数列{an}的首项a1=a，其中a∈N*，an+1=
    an
    3
    ，an为3的倍数
    an+1，an不为3的倍数
    ，集合A={x|x=an，n=1，2，3，…}．
    （I）若a=4，写出集合A中的所有的元素；
    （II）若a≤2014，且数列{an}中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
    （III）求证：1∈A．

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    一、选择题：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    B

    D

    A

    C

    D

    C

    C

    A

    D

    B

    D

    C

    二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

    13、；   14、；   15、32；     16、2

    三、解答题：（本大题共6小题，共74分，）

    17、解：（I）

                    

                     ……………………………………………………4分

        ………………………………………………………………6分

       （II）由余弦定理得

       

        ……………………………………………………………………9分

        而，

        函数

        当………………………………………12分

    18、解：由上表可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20，故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总数是，则有

    ，   即   ，        ------------4分

                        

    所以，可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000．    ------------6分

    （Ⅱ）显然，，                                 -----------9分

    其分布列为

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    ---------11分

    数学期望．                                  -----------12分

    ∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，

    ∵CD=1，∴EF=1。

    ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3。

    ∴AE=BF=1。

    ∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1。

    连结CE，则CE=CB=

    ∵EB=2，∴∠BCE=90°。

    则BC⊥CE。                                                 …………3分

    在图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，

    ∴AE⊥平面BCDE。

    ∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC。                                 …………4分

    ∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC。                                …………5分

       （II）∵AE⊥平面BCDE，CF平面BCDE。

    ∴AE⊥CF。

    ∴CF⊥平面ABE。

    过C作CG⊥AB，连结FG，则∠CGF就是二面角C―AB―E的平面角。……6分

    又CF=1，AE=1，CE=BC=。

    ∴AC=

    在Rt△ACB中，AB=

    又AC?BC=AB?CG，∴CG=     ∴FG=   

    ∴二面角C―AB―E的正切值为                             …………8分

       （III）用反证法。

    假设EM∥平面ACD。                                         

    ∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，

    ∴EB∥平面ACD。∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD                  …………10分

    而A∈平面AEB，A∈平面ACD，

    与平面AEB//平面ACD矛盾。

    ∵假设不成立。

        ∴EM与平面ACD不平行。………………………………12分

    20、（I）解：由得，

     ，，

    ∴，  

    ∵为等比数列   ∴∴=                             3分                                                 

    （II）证明：因为方程的两根为3、7，

    由题意知， 即，∴

    ∴等差数列的公差，∴

    ∴                        6分

    要证，只要证明， 即

    下面用数学归纳法证明成立

    （i）当，2，3时，不等式显然成立，

    （ii）假设当（）时，不等式成立，即

    当+1时，

    即，此时不等式也成立．

    由（i）（ii）知，对任意，成立．

    所以，对任意，．                              9分

    （III）证明：由（II）已证成立，两边取以3为底的对数得，

    ∴

    ∴，  ∴ w.w.w.k.s.5 u.c.o.m             12分

    21、解：（I）设椭圆方程为，         1分

    则由题意有，，                       2分

    因此，，                        3分

    所以椭圆的方程为。                          4分

    （II）∵　斜率存在，不妨设，求出．   5分

    直线 方程为，直线 方程  …………6分

    　　分别与椭圆方程联立，可解出，   7分

    ∴　．∴　为定值．       8分

    （Ⅲ）设直线AB方程为，与联立，消去得

    ．                                  9分

    由 >0得-4＜ ＜4，且 ≠0，点 到 的距离为．………… 10分

                   11分

    　   设△的面积为S．　∴　．

    当时，得．                       12分

    22、（I）解：当

    此时， 的极小值为，无极大值                        …………4分

    （II）解：

               …………8分

    （III）由（I）知：上为增函数，

     

     


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