题目列表(包括答案和解析)
表示取出的3张卡片的最大数字，求：的概率分布和数学期望；
，求
．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． A 2． B 3． C 4． A 5．B
6． D 7． A 8． C 9． D 10．C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
11． 
12．
13．24
14．
15．168 16．①②③ 17．1：（-6）：5：（-8）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
18．解：(Ⅰ)由
---------4分
由
，得
即
则
，即
为钝角，故
为锐角，且
则
故
． ---------8分
(Ⅱ)设
，
由余弦定理得
解得
故
．
---------14分
19．解：（1）
--------4分
（2）x可能取的所有值有2,3,4 --------5分
--------8分
∴x的分布列为：
∴Ex=
--------10分
（3）当
时，取出的3张卡片上的数字为1,2,2或1,2,3
当取出的卡片上的数字为1,2,2或1,2,3的概率为
，
∴
--------14分
20．解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，
∴EF⊥平面BDN，
∴平面BDN⊥平面BCEF，
又因为BN为平面BDN与平面BCEF的交线，
∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上
而D在平面BCEF上的射影在BC上，
∴D在平面BCEF上的射影即为点B，即BD⊥平面BCEF. --------4分
（Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系，
∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，
则BN=
，DN=
，∴折后图中BD=3，BC=3
∴
，
∴
∴
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为
. --------９分
法二．在线段BC上取点M，使BM=FN，则MN//BF
∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角。
又MN=BF=2， DM=
，
。
∴
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为。
（Ⅲ）∵AD//EF，
∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，
∴
即所求三棱锥的体积为
. --------14分
21．解：(Ⅰ)(?)由已知可得
，
则所求椭圆方程
. --------3分
(?)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为
，准线方程为
，则动圆圆心轨迹方程为
. --------6分
(Ⅱ)当直线MN的斜率不存在时，|MN|=4，
此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，
从而
.
--------8分
设直线
的斜率为
，则
,直线的方程为：
直线PQ的方程为
，
设
由
，消去
可得
由抛物线定义可知：
----10分
由
，消去得
，
从而
，
--------12分
∴
令
，
∵k>0，则
则
所以
--------14分
所以四边形
面积的最小值为8.
--------15分
22．解：（Ⅰ）
∵
为
的极值点，∴
∴
且
∴
.
又当时，
，从而
为的极值点成立。
--------4分
（Ⅱ）因为在
上为增函数，
所以
在上恒成立. --------6分
若，则
，
∴在上为增函数不成立；
若
，由
对
恒成立知
。
所以
对
上恒成立。
令
，其对称轴为
，
因为，所以
，从而
在上为增函数。
所以只要
即可，即
所以
又因为，所以
．
--------10分
（Ⅲ）若
时，方程
可得
即
在
上有解
即求函数
的值域．
法一：
令
由
∵
∴当
时，
，从而
在(0,1)上为增函数；
当时，
，从而在(1，+∞)上为减函数。
∴
，而可以无穷小。
∴
的取值范围为
.
--------15分
法二：
当
时，
，所以
在上递增；
当
时，
，所以在上递减；
又
，∴令
，
.
∴当
时，
，所以
在上递减；
当
时，
，所以在上递增；
当时，，所以在上递减；
又当
时，
，
当
时, 
,则
，且
所以的取值范围为. --------15
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