已知函数y=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+

2b

x

(x＞0)在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b的值．
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f(x)=x+

c

x

(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数g(x)=xn+

c

xn

(c＞0)的单调性，并说明理由．

已知A，B，C均在椭圆M：

x2

a2

+y2=1(a＞1)上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F₁、F₂，当

AC

•

F1F2

=0时，有9

AF1

•

AF2

=

AF1

2．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任一条直径，求

PE

•

PF

的最大值．

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C₁上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，

1

7

）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(0，

2

)，且长轴长与短轴长的比是

2

：1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．