如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有

,求a的取值范围.

如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有,求a的取值范围.

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．