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（本小题满分12分）已知等比数列{a_n}中， 

   （Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；

   （Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明:；

   （Ⅲ）设，证明：对任意的正整数n、m，均有

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（本小题满分12分）已知函数，其中a为常数.

   （Ⅰ）若当恒成立，求a的取值范围；

   （Ⅱ）求的单调区间.

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一、选择题：每小题5分，共60分．

       BABDB   DCABD  BD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷相应题号的横线上．

13．某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有老师中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为：16

14．若△ABC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB+bcosA=csinC，则角C的大小为：

15．若、满足约束条件的最大值为：2

16．若，且，则实数x的取值范围是：

三、解答题：本大题共6小题，共70分．把答案填在答题卷相应题号的答题区中．

17．（本小题满分10分）

如图，已知，，且，．

（I）试用表示；

（Ⅱ）设向量和的夹角为，求的值．

解：（I）设，则

      ，；            …………3分

因，，，

       所以         解得：                                                  

       即 ．                                                                                  …………5分

（Ⅱ）由（I）知 ，又，

所以 ) ()=，                                     

                            …………8分

故 ．                                                      …………10分

18．（本小题满分10分）

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分配到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时被分配到岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人被分配到不同岗位服务的概率．

解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时被分到岗位服务为事件，

那么，

即甲、乙两人同时被分到岗位服务的概率是．                                       …………5分

（Ⅱ）设甲、乙两人同时被分到同一岗位服务为事件，

那么，

故甲、乙两人被分到不同岗位服务的概率是．         …………10分

19．（本小题满分12分）

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，AB=AD=，CA=CB=CD=BD=2．

（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小．

解:(方法一)

（Ⅰ）连结OC．∵BO=DO，AB=AD， BC=CD，

∴AO⊥BD，CO⊥BD．                                       …………3分

在△AOC中，由已知得AC=2，AO=1，CO=，

∴AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．

 ∴AO平面BCD．           …………6分

（Ⅱ）分别取AC、BC的中点M、E，连结OM、ME、OE，则

                  ME∥AB，OE∥DC．    

∴（或其补角）等于异面直线AB与CD所成的角．                   …………9分

在△OME中，                                  

又 是直角△AOC斜边AC上的中线，∴

∴

∴异面直线AB与CD所成角的大小为                                                …………12分

(方法二)

（Ⅰ）同方法一．                                                …………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AO⊥OC，AO⊥BD，CO⊥BD．

以O为原点，建立空间直角坐标系如图，  …………7分

则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0) ．     …………10分

所以 ，

∴异面直线AB与CD所成角的大小为                                         …………12分

20．（本小题满分12分）

数列满足，且．

   （I）求，并证明数列是等比数列；

   （II）求．

解：（I），

           ；                       …………2分

  又，，                    …………4分

    且  

    所以数列是以-2为首项，3为公比的等比数列．                   …………6分

   （II）由（I）得，    ．                  …………8分

                               …………10分

                                    …………12分

21.（本小题满分13分）

已知函数，在任意一点处的切线的斜率为.

（I）求函数的单调区间；

（II）若在上的最小值为，求在R上的极大值.

21. 解：（I）因,所以；  …………2分

故  , ，，，

 ,   .                  …………4分

由知在和上是增函数，

由知在（-1，2）上为减函数.               …………8分

（II）由（I）知在（-3，-1）上是增函数，在（-1，2）上为减函数，

所以 在上的最小值是或，极大值为.       …………10分

而，,，

∴在上的最小值是,∴,.   …………12分

，

即所求函数在R上的极大值为                                 …………13分

22．（本小题满分13分）

如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．

（I）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（II）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明为定值，并求此定值．

解：（I）设抛物线的标准方程为，则，从而．

因此抛物线焦点F的坐标为（2，0），准线方程为．                      ……………4分

（II）作AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，

则由抛物线的定义知：|FA|=|AC|，|FB|=|BD|．

记A、B的横坐标分别为x_A、x_B，则

|FA|＝|AC|＝

解得；                                          ……………7分

|FB|＝|BD|＝

解得．                                                                           ……………9分

记直线m与AB的交点为E，则

，

所以．                                                                  ……………12分

故．                 ……………13分