(本小题满分12分)

若数列的通项公式，记．

（Ⅰ）计算的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想，并证明．

(本小题满分12分) 若函数的图象与直线相切，相邻切点之

间的距离为。

(Ⅰ)求和的值；

(Ⅱ)若点是图象的对称中心，且，求点的坐标。

(本小题满分12分)

   若实数列满足,则称数列为凸数列.

  （Ⅰ）判断数列是否是凸数列?

  （Ⅱ）若数列为凸数列,

        求证：;

        设是数列的前项和,求证：.

(本小题满分12分)

若数列的前项和是二项展开式中各项系数的和．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，且，求数列 的通项及其前项和；

（III）求证：．

(本小题满分12分)若对于正整数、表示的最大奇数因数，例如，，并且,设

（1）求S₁、S₂、S₃    ； 

（2）求；

（3）设，求证数列的前顶和．