在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点P、N分别是边A₁B₁、BC的中点．侧棱AA₁=2，M为棱AA₁上的一点，且AM=
（1）求证：MN⊥MP；
（2）求二面角N-MP-B的正弦值．

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=6，M为AA₁上的点，且AM=2MA₁，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M点的最短路线长为4

2

，设这条最短路线与C₁C的交点为N．求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2） PC和NC的长；
（3）此棱柱的表面积；
（4）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反正切函数表示）．

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短路线长为

29

，设这条最短路线与CC₁的交点为N，求：
（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）PC和NC的长
（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）