已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f(x)≤(

x+1

2

)2
（1）求f（1）的值；
（2）证明：a＞0、c＞0；
（3）当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求证：m≤0或m≥1．

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

，且当x=

1

2

时，函数f(x)=

1

2

an•x2-an+1•x取得极值．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足：b₁=2，bn+1-2bn=

1

an+1

，证明：{

bn

2n

}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式通项及前n项和S_n．

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：a₁=a，a₂≠a₁，当n∈N^*且n≥2时，a_n=f（a_n-1）且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．
其中a、k均为非零常数．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求k的值；
（2）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），若b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（3）试研究数列{a_n}为等比数列的条件，并证明你的结论．

已知函数F(x)=

3x+1

2x-1

，(x≠

1

2

)．
（Ⅰ）证明：F（x）+F（1-x）=3，并求F(

1

2009

)+F(

2

2009

)+…+F(

2008

2009

)；
（Ⅱ）．已知等差数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n与T_n，且

Sn

Tn

=F(n)．当m＞n时，比较

am

bm

与

an

bn

的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，已知a₁=2，数列{b_n}的公差为d=2．探究在数列{a_n}与{b_n}中是否有相等的项，若有，求出这些相等项由小到大排列后得到的数列{c_n}的通项公式；若没有，请说明理由．

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-

7x

x2+x+1

．
（1）求当x＜0时f（x）的解析式；
（2）试确定函数f（x）（x≥0）的单调区间，并证明你的结论；
（3）若x₁≥2，x₂≥2且x₁≠x₂，证明：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．