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一、 选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）

1．函数的图像过点（-1，3），则函数的图像关于轴对称的图形一定过点（    ）．

A (1,-3)       B (-1,3)    C (-3,-3)       D (-3,3)

答案：B.

2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（    ）种．

A  4         B 6        C  8         D 16

答案：C.

解： 设，即．2008有8个正因数，分别为1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且与只能同为偶数，因此对应的方程组为

故共有8组不同的值：；．

3．若函数有最小值，则a的取值范围是（     ）．

A      B     C      D

答案：C．

解：当时，是递减函数，由于没有最大值，所以没有最小值；当时，有最小值等价于有大于0的最小值．这等价于，因此．

4．已知则的最小值是（     ）．

   A         B        C 2        D   1

答案：A.

解：记，则，，（当且仅当时取等号）．故选A．

5．已知，则的取值范围是（     ）．

A     B     C     D 

答案：D．

解：设，易得，即．由于，所以，解得 ．

6．函数是上的单调递增函数，当时，，且，则的值等于（  ）．

A  1       B  2          C  3          D  4

答案：B

解：（用排除法）令，则得．

若，则，与矛盾；

若，则，与“在上单调递增”矛盾；

若，则，也与“在上单调递增”矛盾．

故选B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）

7．设集合，是S的子集，且满足：，，那么满足条件的子集的个数为            ．

答案：371．

解：当时，有种选择方法， 有6种选择方法，所以共有种选择方法；当时，一旦取定，有种选择方法，有种选择方法，所以选择的方法有  种．

综上，满足条件的子集共有371个．

8．已知数列满足，则=___     .

答案：．

解：由已知得，且．

所以，即{}是首项、公差均为1的等差数列，所以=n，即有.

9．已知坐标平面上三点，是坐标平面上的点，且，则点的轨迹方程为                             ．

答案：.

解：如图，作正三角形，由于也是正三角形，所以可证得　≌，所以．

又因为，所以点共线．

，所以P点在的外接圆上，又因为，所以所求的轨迹方程为

．

10． 在三棱锥中，，，，，，．则三棱锥体积的最大值为                 ．

答案：.

解：设，根据余弦定理有，

故，．由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以.事实上，取，且时，可以验证满足已知条件，此时，棱锥的体积可以达到最大．

11． 从m个男生，n个女生（）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值为                    ．

答案:（10，6）.

解：，由于，所以，整理得．即是完全平方数，且，因此

  ，，解得 （不合条件），.

所以．

12．是平面上不共线三点，向量，，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量．若，，则的值是                      ____              ____．

答案:8．

解：如图,是线段AB的垂直平分线，，

，，

．

三、解答题（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分,17小题14分,其余每小题12分，满分60分）

13．是两个不相等的正数，且满足，求所有可能的整数c,使得.

解：由得,所以,

由此得到.

又因为,故.………………………4分

又因为, 令    则.……………6分

当时，关于t单调递增，所以，.

因此 可以取1，2，3. …………………………………………………………………10分

14．如图，斜三棱柱的所有棱长均为，侧面底面，且.

（1） 求异面直线与间的距离；

（2） 求侧面与底面所成二面角的度数．

解：（1）如图，取中点D，连.

  .

,

∴.

由.……………4分

∥ ∥平面.

所以异面直线与间的距离等于.……………6分

（2）如图，

………………………………..……8分

.……………………12分

15．设向量为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向量，