已知f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

 （n∈N^*），用数学归纳法证明不等式f（2ⁿ）＞

n

2

时，f（2^k+1）比f（2^k）多的项数是．

（2012•济南三模）设函数f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N^*），f^′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当k为偶数时，数列{a_n}满足a₁=1，anf′(an)

=a

2 n+1

-3．证明：数列{

a

2 n

}中不存在成等差数列的三项；
（Ⅲ）当k为奇数时，设bn=

1

2

f′(n)-n，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明不等式(1+bn)

1

bn+1

＞e对一切正整数n均成立，并比较S₂₀₁₂-1与ln2012的大小．

设f(x)=lnx-

x-a

x

(其中a＞0)，g(x)=2(x-1)-(x2+1)lnx．
（1）当x∈[1，+∞）时，判断函数g（x）的单调性；
（2）已知f（x）和g（x）在[1，+∞）上单调性一致，求a的取值范围；
（3）设b＞1，证明不等式

2

1+b2

＜

lnb

b-1

＜

1

b

．