题目列表(包括答案和解析)
高校招生是根据考生所填报的志愿，从考试成绩所达到的最高第一志愿开始，按顺序分批录取，若前一志愿不能录取，则依次给下一个志愿（同批或下一批）录取.某考生填报了三批共6个不同志愿（每批2个），并对各志愿的单独录取以及能考上各批分数线的概率进行预测，结果如“表一”所示（表中的数据为相应的概率，a、b分别为第一、第二志愿）.
表一
| 批次 | 高考上线 | a | b |
| 第1批 | 0.6 | 0.8 | 0.4 |
| 第2批 | 0.8 | 0.9 | 0.5 |
| 第3批 | 0.9 | 0.95 | 0.8 |
（Ⅰ）求该考生能被第2批b志愿录取的概率；
（Ⅱ）求该考生能被录取的概率；
（Ⅲ）如果已知该考生高考成绩已达到第2批分数线却未能达到第1批分数线，请计算其最有可能在哪个志愿被录取？（以上结果均保留二个有效数字）
| 事件 | 省数学竞获一等奖 | 自主招生考试通过 | 高考达重点线 | 高考达该校分数线 |
| 概率 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | 0.6 |
（本小题满分12分）一名高二学生盼望进入某名牌大学学习，不放弃能考入该大学的任何一次机会。已知该大学通过以下任何一种方式都可被录取：
① 2010年2月国家数学奥赛集训队考试通过（集训队从2009年10月省数学竞赛壹等奖获得者中选拔，通过考试进入集训队则能被该大学提前录取）；
② 2010年3月自主招生考试通过并且2010年6月高考分数达重点线；
③ 2010年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）。
该名考生竞赛获省一等奖、自主招生考试通过、高考达重点线、高考达该校分数线等事件的概率如下表：
| 事件 | 省数学竞获一等奖 | 自主招生考试通过 | 高考达重点线 | 高考达该校分数线 |
| 概率 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | 0.6 |
如果数学竞赛获省一等奖，该学生估计自己进入国家集训队的概率是0.4。
（1）求该学生参加自主招生考试的概率；
（2）求该学生参加考试次数的分布列与数学期望；
（3）求该学生被该大学录取的概率。
（本小题满分12分）一名高二学生盼望进入某名牌大学学习，不放弃能考入该大学的任何一次机会。已知该大学通过以下任何一种方式都可被录取：
① 2010年2月国家数学奥赛集训队考试通过（集训队从2009年10月省数学竞赛壹等奖获得者中选拔，通过考试进入集训队则能被该大学提前录取）；
② 2010年3月自主招生考试通过并且2010年6月高考分数达重点线；
③ 2010年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）。
该名考生竞赛获省一等奖、自主招生考试通过、高考达重点线、高考达该校分数线等事件的概率如下表：
| 事件 | 省数学竞获一等奖 | 自主招生考试通过 | 高考达重点线 | 高考达该校分数线 |
| 概率 | 0.5 | 0.7 | 0.8 | 0.6 |
如果数学竞赛获省一等奖，该学生估计自己进入国家集训队的概率是0.4。
（1）求该学生参加自主招生考试的概率；
（2）求该学生参加考试次数的分布列与数学期望；
（3）求该学生被该大学录取的概率。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.B 2. C 3. D 4.C 5.B 6.D 7.A 8. B.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9.
； 10.（-1，2）； 11.0； 12.
（或
）；
13.（1）
或 
；（2）16；（3）
.
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
14.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵
当
时，其图象如右图所示.---4分
（Ⅱ）函数的最小正周期是
，其单调递增区间是
；由图象可以看出，当
时，该函数的最大值是
.--------------7分
（Ⅲ）若x是△ABC的一个内角，则有
，∴
由
，得
∴
∴
，
，故△ABC为直角三角形. --------------12分
15．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
--------6分
（Ⅱ）当
时，
----------12分
16．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条
侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的
正方形，高为CC1=6，故所求体积是
------------------------4分
（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，
故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
其拼法如图2所示. ------------------------6分
证明:∵面ABCD、面ABB
正方形，于是
故所拼图形成立.---8分
（Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G，
连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，
连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与
平面ABC所成二面角或其补角的平面角. --------10分
在Rt△ABG中，
，则
，
，
，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为
.---14分
方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.
设向量n=（x，y，z），满足n⊥
，n⊥
，
于是
，解得
.
--------------------12分
取z=2，得n=（2，-1，2）. 又
（0，0，6），
故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.
----------------14分
17．（本小题满分14分）
解：分别记该考生考上第1、2、3批分数线为事件A、B、C，被相应志愿录取为事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 则以上各事件相互独立. -------------------------------------2分
（Ⅰ）“该考生被第2批b志愿录取”包括上第1批分数线和仅上第2批分数线两种情况，故所求概率为
. -----------------------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）设该考生所报志愿均未录取的概率为
，则
.
∴该考生能被录取的概率为
. ------------10分
|
，当
时，
.
在[1，3]上是增函数.---------------------------------3分
≤
，即 -2≤
，都有
≤M成立.
是[1，3]上的有界函数.---------------------------6分
. 由
≤1，得
≤1
，则
.
时，有
，
上单调递减.
-------------------------------10分
；
，当t→+∞时，
，从而有
≤0，且
. ∴0≤a≤1；
故所求a的取值范围为0≤a≤1.---------------------------------------------14分
的半焦距为：
，
的准线为：
. 
，依题意有
，
，又
.
. ------------------------4分
与双曲线M的交点为
、
两点
消去y得
，
，从而有
，
.
，
.
，则有 
，即
.
时，使得
,使A、B两点关于直线
对称，则必有 
，
时，由
得 
在直线
代入上式得
；又
， ∴
，得 
.
，使A、B两点关于直线