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    (Ⅱ)若已知质点的运动方程为.要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数.求实数a的取值范围. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.

    （Ⅰ）试判断函数在[1，3]上是不是有界函数？请给出证明；

    （Ⅱ）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

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    一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

    1.B   2. C  3. D    4.C   5.B   6.D   7.A   8. B.

     

    二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

    9.； 10.（-1，2）； 11.0；  12.（或）；

    13.（1） 或 ；（2）16；（3）.

    三、解答题（本大题共6小题，共80分）

    14.（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）∵

    当时，其图象如右图所示.---4分

    （Ⅱ）函数的最小正周期是，其单调递增区间是；由图象可以看出，当时，该函数的最大值是.--------------7分

    （Ⅲ）若x是△ABC的一个内角，则有，∴

    由，得

    ∴  ∴ ，，故△ABC为直角三角形. --------------12分

    15．（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）

           --------6分

    （Ⅱ）当时，

     ----------12分

     

    16．（本小题满分14分）

    解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条

    侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的

    正方形，高为CC1=6，故所求体积是

           ------------------------4分

     （Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，

    故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，

    其拼法如图2所示. ------------------------6分

       证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的

    正方形，于是

      故所拼图形成立.---8分

    （Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G，

     连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，

    连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与

    平面ABC所成二面角或其补角的平面角. --------10分

      在Rt△ABG中，，则

    ，，

    ，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.---14分

       方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.

     设向量n=（x，y，z），满足n⊥，n⊥，

    于是，解得.       --------------------12分

      取z=2，得n=（2，-1，2）. 又（0，0，6），

    故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为. ----------------14分

     

    17．（本小题满分14分）

    解：分别记该考生考上第1、2、3批分数线为事件A、B、C，被相应志愿录取为事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 则以上各事件相互独立.  -------------------------------------2分

    （Ⅰ）“该考生被第2批b志愿录取”包括上第1批分数线和仅上第2批分数线两种情况，故所求概率为

         

    .  -----------------------------------------------------------------------------------6分

    （Ⅱ）设该考生所报志愿均未录取的概率为，则

               

              

             .

         ∴该考生能被录取的概率为. ------------10分

    表 二

    批次

    a

    b

    第2批

    0.9

    0.05

    第3批

    0.048

    0.0020

    从表中可以看出，该考生被第2批a志愿录取的概率最大，故最有可能在第2批a志愿被录取. ------14分

     

    18．（本小题满分14分）

    解：（Ⅰ）∵，当时，.

         ∴在[1，3]上是增函数.---------------------------------3分

         ∴当时，≤≤，即 -2≤≤26.

          ∴存在常数M=26，使得，都有≤M成立.

           故函数是[1，3]上的有界函数.---------------------------6分

    （Ⅱ）∵. 由≤1，得≤1

       ∴ 

           令，则.

          当时，有，

    ∴在[0，+∞上单调递减.   -------------------------------10分

    故当t=0 时，有；

    又，当t→+∞时，→0，

    ∴ ，从而有≤0，且.  ∴0≤a≤1；                               故所求a的取值范围为0≤a≤1.---------------------------------------------14分

     

    19．（本小题满分14分）

    解：（Ⅰ）易知，椭圆的半焦距为：，

     又抛物线的准线为：.

    设双曲线M的方程为，依题意有，

    故，又.

    ∴双曲线M的方程为. ------------------------4分

    （Ⅱ）设直线与双曲线M的交点为、两点

    联立方程组 消去y得  ，

    ∵、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根， ∴

    ∴，从而有

    ，.

    又，

    ∴.

    ① 若，则有 ，即 .

    ∴当时，使得. -----------------------------8分

    ② 若存在实数,使A、B两点关于直线对称，则必有 ，

    因此，当m=0时，不存在满足条件的k；------------------------------------10分

    当时，由 得

      

    ∵A、B中点在直线上，

    ∴ 代入上式得

    ；又， ∴

    将代入并注意到，得 .

    ∴当时，存在实数，使A、B两点关于直线对称.--14分

    如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.

     

     

     

     


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