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    (2) 若a<0.对于任意两个正数x1.x2总有: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f(x)＝alnx－x2＋1.

    (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；

    (2)若a<0，且对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．

    【解析】第一问中利用f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

    由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

    第二问中，利用当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

    不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

    ∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，

    即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，结合构造函数和导数的知识来解得。

    (1)f′(x)＝－2x(x>0)，f′(1)＝a－2，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(a－2)(x－1)，即(a－2)x－y＋2－a＝0，

    由已知得a－2＝4,2－a＝b，所以a＝6，b＝－4.

    (2)当a<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

    不妨设0<x1≤x2，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x1)－f(x2)，|x1－x2|＝x2－x1，

    ∴|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|等价于f(x1)－f(x2)≥x2－x1，即f(x1)＋x1≥f(x2)＋x2，

    令g(x)＝f(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，

    ∵g′(x)＝－2x＋1＝(x>0)，

    ∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立，

    ∴1＋8a≤0，a≤－，又a<0，

    ∴a的取值范围是

     

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    （本小题满分12分）已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}。
    (1) 若A∩B＝Φ，求a的取值范围；   
    (2) 若A∪B＝B，求a的取值范围。

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    （本小题满分12分）已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}。

    (1) 若A∩B＝Φ，求a的取值范围；   

    (2) 若A∪B＝B，求a的取值范围。

     

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    （本题满分10分）已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}．

           (1) 若A∩B＝Φ，求a的取值范围； 

    (2) 若A∪B＝B，求a的取值范围．

     

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    （10分）.已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x<-2或x>6}．
    (1)若A∩B＝Φ，求a的取值范围； (2) 若A∪B＝B，求a的取值范围．

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    1．；   2.   2.   3.200   4. 3      5．  6.     7．

    8．6  9．；  10.    11.1005    12.4    13.  1    14．

    15．解： (1)．如图，，

        　　即．

       （2）．在中，由正弦定理得

    　　　　由(1)得，

    　　　　即．

    　　　　

    16．解：(Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

            ∴，∴；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

           同理可得

           ∵，∴

          ∵平面ABC，∴PA⊥BC. 

    (Ⅱ)  如图所示取PC的中点G，

    连结AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点

          又D、E分别为BC、AC的中点，

    ∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F……………7分 

          ∴面ABG∥面DEF           

    即PC上的中点G为所求的点                  …………… 9分

    (Ⅲ)

    17．解：（1）由题意得，  

    整理得，解得， 

    所以“学习曲线”的关系式为． 

    （2）设从第个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为，则

     

    令，则，  

    显然当，即时，最大， 

    将代入，得，

    所以，在从第3个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高．

    18. 解：（1）由题可得，，设

    则，，……………………2分

    ∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为. ……………………5分

    （2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，………6分

    则BP的直线方程为：.由得 ，设，则，

    同理可得，则，. ………………9分

    所以：AB的斜率为定值. ………………10分

    （3）设AB的直线方程：.

    由，得，

    由，得

    P到AB的距离为，………………12分

    则

    。

    当且仅当取等号

    ∴三角形PAB面积的最大值为。………………14分

     

    19.解: (1)依题意有,于是.

    所以数列是等差数列.                      　　　　　　　　.4分

    (2)由题意得,即 , ()         ①

    所以又有.                        ②   

    由②①得：,　所以是常数．　　　　　　　

    由都是等差数列.

    ，那么得    ,

    .    (   

    故                           　　 1０分

    (3) 当为奇数时,,所以

    当为偶数时,所以   　　　　

    作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：.                  　　　　　　　　　　　

    当为奇数时,有,即        ①

    ， 当时，. 不合题意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

    当为偶数时,有 ，,同理可求得  .

    ；；当时，不合题意．

    综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为

    ；；　；16分

    20⑴当x≥1时，只需2+a≥0即a≥-2

    ⑵作差变形可得：

    =  (*)

    x1>0，x2>o  从而

    ∴ln,又a<0   ∴（*）式≥0

    即(当且仅当x1=x2时取“=”号)

     （3）可化为：

     x ∴lnx≤1≤x,因等号不能同时取到，∴lnx<x,lnx―x<0

    ∴a≥

    令, x ,

    =

     x,∴lnx―1―<0，且1―x≤0

    从而，,所以g(x)在x上递增，从而=g(1)= ―

    由题设a≥―

    即存在x，不等式f(x)≤(a+3)―能成立且a

    21.A解（1）利用△CDO≌△BCM，可证MB=OC=AB

    （2）由△PMB∽△BMC，得,∴BP=

    B、设M=，则=8=，故

           =，故

    联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．

    C.求直线（）被曲线所截的弦长，将方程，分别化为普通方程：

    ，………(5分)

     D．解：由柯西不等式可得

     

    22、解析：（1）记“”为事件A， （）的取值共有10种情况，…………1分

    满足的（）的取值有以下4种情况：

    （3，2），（4，2），（5，2），（5，4），

    所以；

    （2）随机变量的取值为2，3，4，5，的分布列是

    2

    3

    4

    5

    P

                   …………10分

    所以的期望为

    23、解：（1）由得

    ∵在数列中，∴，∴

    故数列中的任意一项都小于1

    （2）由（1）知，那么，

    由此猜想：（n≥2）.下面用数学归纳法证明：

    ①当n=2时，显然成立；

    ②当n=k时（k≥2,k∈N）时，假设猜想正确，即，

    那么，

    ∴当n=k+1时，猜想也正确

    综上所述，对于一切，都有。

     

     

     


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