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B．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A，其中，若点在矩阵A的变换下得到．
（1）求实数的值；
（2）矩阵A的特征值和特征向量．

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1．；   2.   2.   3.200   4. 3      5．  6.     7．

8．6  9．；  10.    11.1005    12.4    13.  1    14．

15．解： (1)．如图，，

    　　即．

   （2）．在中，由正弦定理得

　　　　由(1)得，

　　　　即．

16．解：(Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，

        ∴，∴；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，

       同理可得

       ∵，∴

      ∵平面ABC，∴PA⊥BC. 

(Ⅱ)  如图所示取PC的中点G，

连结AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点

      又D、E分别为BC、AC的中点，

∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F……………7分 

      ∴面ABG∥面DEF           

即PC上的中点G为所求的点                  …………… 9分

(Ⅲ)

17．解：（1）由题意得，  

整理得，解得， 

所以“学习曲线”的关系式为． 

（2）设从第个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为，则

令，则，  

显然当，即时，最大， 

将代入，得，

所以，在从第3个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高．

18. 解：（1）由题可得，，设

则，，……………………2分

∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为. ……………………5分

（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，………6分

则BP的直线方程为：.由得 ，设，则，

同理可得，则，. ………………9分

所以：AB的斜率为定值. ………………10分

（3）设AB的直线方程：.

由，得，

由，得

P到AB的距离为，………………12分

则

。

当且仅当取等号

∴三角形PAB面积的最大值为。………………14分

19.解: (1)依题意有,于是.

所以数列是等差数列.                      　　　　　　　　.4分

(2)由题意得,即 , ()         ①

所以又有.                        ②   

由②①得：,　所以是常数．　　　　　　　

由都是等差数列.

，那么得    ,

.    (   

故                           　　 1０分

(3) 当为奇数时,,所以

当为偶数时,所以   　　　　

作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：.                  　　　　　　　　　　　

当为奇数时,有,即        ①

， 当时，. 不合题意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当为偶数时,有 ，,同理可求得  .

；；当时，不合题意．

综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为

；；　；16分

20⑴当x≥1时，只需2+a≥0即a≥-2

⑵作差变形可得：

=  (*)

x₁>0，x₂>o  从而

∴ln,又a<0   ∴（*）式≥0

即(当且仅当x₁=x₂时取“=”号)

 （3）可化为：

 x ∴lnx≤1≤x,因等号不能同时取到，∴lnx<x,lnx―x<0

∴a≥

令, x ,

=

 x,∴lnx―1―<0，且1―x≤0

从而，,所以g(x)在x上递增，从而=g(1)= ―

由题设a≥―

即存在x，不等式f(x)≤(a+3)―能成立且a

21.A解（1）利用△CDO≌△BCM，可证MB=OC=AB

（2）由△PMB∽△BMC，得,∴BP=

B、设M=，则=8=，故

       =，故

联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．

C.求直线（）被曲线所截的弦长，将方程，分别化为普通方程：

，………(5分)

 D．解：由柯西不等式可得

22、解析：（1）记“”为事件A， （）的取值共有10种情况，…………1分

满足的（）的取值有以下4种情况：

（3，2），（4，2），（5，2），（5，4），

所以；

（2）随机变量的取值为2，3，4，5，的分布列是

2

3

4

5

P

               …………10分

所以的期望为

23、解：（1）由得

∵在数列中，∴，∴

故数列中的任意一项都小于1

（2）由（1）知，那么，

由此猜想：（n≥2）.下面用数学归纳法证明：

①当n=2时，显然成立；

②当n=k时（k≥2,k∈N）时，假设猜想正确，即，

那么，

∴当n=k+1时，猜想也正确

综上所述，对于一切，都有。